3枚目の写真はなぜ-πをするのでしょうか？ また、なぜαの範囲もこうなるのですか？

重要例題 89 媒介変数 x=2 cos 0 曲線 (≧≦) の概形をかけ (凹凸は調べなくてよい)。 v=2sin20 基本83 CHART & SOLUTION 媒介変数で表された関数のグラフ dx dy から点(x,y)の動きを追う de' de 0が消去できる場合は,前ページの重要例題88 のように概形をかくことができるが,いつ も媒介変数が消去できるとは限らない。 このような場合, 媒介変数の値に対するx,yの値の増減を調べて, 点 (x,y) の動きを追 えばよい xが増加するとき dx do >0 のとき 「→」, xが減少するとき(do <0のとき「←」 が増加するとき >0のとき「1」, do ンが減少するとき(<0のとき)「↓」 の矢印で表すことにすると, 点(x, y) の動きは,x,yの増減の組み合わせによって, 右下 の表のような4通りが考えられる。 例えばは,0が増加するとき点(x, y) が右上の方向に動くことを示している。 同様に, 0が増加するとき ←は,点(x,y)が左上の方向に,(+) x ← ← ← ← は,点(x,y)が右下の方向に, ✓は,点(x, y) が左下の方向に, それぞれ動くことを示している。 また, 曲線の対称性も調べ 利用する y ← ↑ 点(x, y) > ✓ ->> ↓ ↓

（2）で、この黄色マーカーを引いているところがわかりません。 なぜ0≦x<1のときと3<x≦4のときが2f（x）になるんですか？ あとマーカーを引いたところの式の意味がわかりません。 お願いします。

重要 例題 71 定義域によって式が異なる関数 関数 f(x) (0≦x≦4) を右のように定義すると 次の関数のグラフをかけ。 (1) y=f(x) (2) y=f(f(x)) 2x (0≦x<2) f(x)= 8-2x (2≦x≦4) 123 指針 定義域によって式が変わる関数では、変わる境目のxyの値に着目。 (2) f(f(x)) f(x)のxf(x) を代入した式で, 0≦f(x)<2のとき 2f(x), f(x)のとき 8-2f(x) (1)のグラフにおいて, f(x)<2となるxの範囲と, 2≦f(x) ≦4となるxの範囲 を見極めて場合分けをする。 (1) グラフは図 (1) のようになる。 3章 関数とグラフ 解答 (2)f(f(x))={ 2f(x) (0≤f(x)<2) よって, (1) のグラフから 8-2f(x) (2≤f(x)≤4)0 0≦x<1のとき f(f(x))=2f(x)=2+2x=4x f(f(x))=8-2f(x)=8-28-2x) =4x-8 f(f(x))=2f(x)=2(8-2x) 1≦x<2のとき f(f(x))=8-2f(x)=8-2・2x =8-4x (p+d 2≦x≦3のとき 3<x≦4のとき =16-4x よって, グラフは図 (2) のようになる。 (1) (2) ya YA 4 4 2 変域ごとにグラフをかく。 (1) のグラフから,f(x) 変 0≦x<1のとき 0≤f(x)<2 1≦x≦3のとき 2≤f(x)≤4 3<x≦4のとき 0≤f(x)<2 また, 1≦x≦のとき, f(x) D 1≦x<2なら f(x)=2x 2≦x≦3なら f(x)=8-2x のように2を境にして 式が異なるため, (2) は左 の解答のような合計4通 りの場合分けが必要に なってくる。 1 O 1 2 3 4 x 01 2 3 4 x 参考(2)のグラフは,式の意味を考える方法でかくこともできる。 [1]f(x) が2未満なら2倍する。 [2]f(x) 2以上4以下なら, 8から2倍を引く。 [右の図で、黒の太線細線部分がy=f(x), 赤の実線部分が y=f(f(x)) のグラフである。] なお,f(f(x)) f(x) f(x) の 合成関数といい, (fof) (x) と書く (詳しくは数学Ⅲで学ぶ)。 8から2倍を 引く 4 2 0 4 x 2倍する

二次関数の最大と最小に関する問題です。 最大値を求めるときと最小値を求めるときでaと比べる範囲(説明下手でごめんなさい。黄色い線の部分です)が変わるのはなぜですか？

100 第2章 2次関数 Think 例題42 軸が動くときの最大・最小 **** (2)(1) 大 関数 y=x-2ax+4 (0≦x≦3) について, 次の問いに答えよ。 (2) 最大値を求めよ. (1) 最小値を求めよ. グラフは右の図のようになる。 x=3のとき最大となり 最大値 -6α+13 考え方 グラフをかいて考える。 ここでは下に凸のグラフになっている。 定義域と軸の位置関係で場合分けをする。 (1) 最小値は、軸が定義域内にあるときは頂点で, 定義域の外にあるときは右端か左端でとる. (2)最大値は,定義域の左端か右端でとるが,こ こでも定義域の中央に軸があるときに着目 する. つまり、軸 x=a が 定義域 0≦x≦3 の中央 x=1212 と一致する a= a=22 のとき,右上の図 のように左端と右端の値が等しくなって 解答 y=x-2ax+4=(x-a)-α'+4 グラフは下に凸で, 軸は直線 x=a (1) (1) 0 のとき グラフは右の図のようになり、 軸は定義域より左側にある. x=0 のとき最小となり 最小値 4 (ii) Ola のとき グラフは右の図のようになり、 軸は定義域内にある. x=q のとき最小となり, 最小値 +4 (i)のとき グラフは右の図のようになり 軸は定義域より右側にある。 x=3のとき最小となり 最小値 6α+13 よって, (i)~()より。 (!!) 0a3 2 2次関数の最大・最小 101 軸が定義の中央よ 最大 グラフは右の図のようになる。 最 最大 最大 x=0, 3 のとき最大となり, 最大値 4 13 (ii) >とき 最大 グラフは右の図のようになる。 x=0 のとき最大となり 最大値 4 最大 よって, (i)(ii)より 0 3 a 3 | a< 2/2 のとき,最大値-6a+13(x=3) 左にあるか右にお るかで場合分けする。 x=0 と x=3 では x=3の方が軸から 遠い。 a=1/2 のとき,最大値 4(x=0,3) 03 最小 軸の位置で場合分け 軸が定義域内にあれ ば、下に凸より頂点 で最小 軸が定義域 からはずれる場合、 左端か右端で最小 つまり、全部で3 りの場合分けとなる。 等号は境目のどちら につけておいてもよ a> 4>212 のとき,最大値 4(x=0) Focus 最大・最小は定義域と軸の位置関係, グラフの対称性に注目 注> 例題 42 において, 最大値と最小値をまとめると次のようになる。 (i) 0≤a<- (i) a<0 ( a (iv) <a≤3 (v) a>3 最大 最大 [最大] 最大) 最大 い 0a3 最小 最小 最小 最小 043 3 0 3 3 4 0 3 0 3 0 3 a 2 3 a 最大値-6g+13 最大値 -6a+13 最大値 4 (x=3) (x=3) 最小値 4 (x=0) 最小値 +4 (x=a) 最大値 4 最大値 4 (x=0.3) 最小値 7 (x=0) (x=0) 最小値 +4 最小値 -6g+13 (x=a) (x=3) (x-2) a<0 のとき, 最小値 4 (x=0) 練習 0≦a≦3 のとき, 最小値 -α+4 (x=α) 42 a3のとき 最小値 6α+13 (x=3) *** (1) 関数 y=-x+4ax+4(0≦x≦4) について, 次の問いに答えよ. (ア) 最大値を求めよ. (イ) 最小値を求めよ. (2) 関数 y=x+2ax-30≦x≦2) について, 最大値および最小値を求めよ. p.107回 章

数Iの二次関数です （2）の解説の［3］の範囲、0<a/2<2を0<=a/2<2としたら間違いになってしまいますか？ 理由もお願いしたいです🙇‍♀️

138 基本 例題 81 2次関数の最大・最小 (3) 店は正の定数とする。Osxsaにおける関数(x)=ピー4x+5について、90) 問いに答えよ。 (1) 最小値を求めよ。 0 + (2) 最大値を求めよ。 基本80 指針 区間は 0≦x≦a であるが, 文字αの値が変わると, 区間の右端が動き, 最大・最小と なる場所も変わる。よって、区間の位置で場合分けをする。 (1)=f(x)のグラフは下に凸の放物線で、軽が区間ごとに含まれれば頂点であ 小となる。ゆえに、軸が区間のごxaに含まれるときと含まれないときで場合分 をする。 [2] [1] |軸 軸 軸が区間 の外 軸が区間 の内 出 小麦・大 最 最小 (4) A (2) y=f(x) のグラフは下に凸の放物線で,軸から遠いほど の値は大きい ( 右の図を参照)。 よって、区間 0≦x≦αの両端から軸までの距離が等しくな 小 るような(軸が区間の中央に一致するような) αの値が場合 軸 分けの境目となる。 * 近 ...... [3] 軸が区間の 中央より右 [4] 軸が区間の 中央に一致 軸 軸 区間の両端 から軸まで の距離が等 しいとき。 01 [5] 軸が区間の 中央より左 軸 ●最大 最大 最大 最大 と 区間の 中央 区間の 区間の (中央)[+(1+x- 中央 S=1 f(x)=x2-4x+5=(x-2)'+1 解答 y=f(x) のグラフは下に凸の放物線で, 軸は直線x=2 (1)軸 x=20≦x≦αの範囲に含まれるかどうかで場合 分けをする。 [1] 0<a<2のとき 「〜はない」 [1] 図 [1] のように, 軸 x=2は区 間の右外にあるから, x=αで 最小となる。 最小値は なるか f(x)=x2-4x+2° -22+5 指針 ★ の方針。 最小 軸x=2が区間0≦x に含まれるかどうかで, 最小となる場所が変わる。 ■区間の右端で最小。 08 f(a)=d2-4a+5 -x=a x = 0 |x=2

この問題の最初で偏西風か季節風かなぜ分かるのでしょうか？

C ている。 2.7mn 問3 10.11 H: T: 黒色の肥沃工である。 C-16 -7° -4 (ア) 熱帯雨林気候のアマゾン川流域では,疎林と草原からなる地帯が広がっている。 植生と気候について述べた文として、最も適当なものを, 次の(ア)~(ｴ)のうちから一つ選び, 記号で答えよ。 →bf (イ) ブナやカエデなどの落葉広葉樹が生育する西岸海洋性気候は、南半球には分布しない。× (ウ) 中国の南東部は,オリーブやユーカリなどの硬葉樹が生育する地中海性気候である。 (ｴ) 北アメリカの亜寒帯(冷帯)気候には,パルプ材に適した針葉樹からなる大森林地帯がある。 問4 次の文章は,日本における梅雨のメカニズムについて述べたものである。文中の1と2 る語句と地名との正しい組合せを,下の(ア)~(カ)のうちから一つ選び, 記号で答えよ。 日本列島付近の上空には強い I が吹いている。この は冬には世界 で最大規模の広さを誇る II 高原の南側を,夏には北側を通って日本に向かう。 梅雨のころは I は II 高原をまたぐように二手に分かれる。 冷たいオ ホーツク海上で再び合流すると, 低温の空気の塊が発達する。 このとき,太平洋に 高温の湿った空気の塊があり、二つの空気の塊がぶつかって, 境目に梅雨前線を形 成する。 インド (エ に該当す (カ) 偏西風 ( (イ) I 季節風 II チベット 季節風 デガン (ウ) 季節風 (オ) 偏西風 偏西風 メキシコ チベット デカン メキシコ

極方程式についてです。 赤枠のところでθ＝π/2のときを自分なりに図示しました。そのとき、どう考えればOP＝5と導けるのかが分かりません。 よろしくお願いします🙇

基本 例題 83 極方程式と軌跡 00000 点 A の極座標を (10,0),極Oと点Aを結ぶ線分を直径とする円Cの周上の任 意の点をQとする。点Qにおける円Cの接線に極Oから垂線OPを下ろし、点 Pの極座標を (0) とするとき,その軌跡の極方程式を求めよ。 ただし, 00とする。 [類 岡山理科大 ] 基本 81 指針▷点P(r, 0) について,r, 0の関係式を導くために,円 C の中心Cから直線 OP に垂線 CH を下ろし, OP HP, OH の関係に注目する。 π 2 ***, 0<< π <<πで場合分けをして, 0の関係式を求め,次に, 0=0, 21 π の各場合について吟味する。 11 2 CHART 軌跡 軌跡上の動点 (r, 0)の関係式を導くメール 解答 円Cの中心をCとし, Cから直線 OP に垂線 CH を下ろすと OP=r, HP=5 [1] [1]08<のとき P π 2 線分 OP 上にあるときと, 線分 OP の延長上にある ときに分かれる。 40= を境目として,Hが OP=HP+OH OH=5cos0 であるから r=5+5cose [2]のとき H- 000+1 5 -5-- C A X 直角三角形 COH に注目。 い に 2 [2] OP-HP-OH O ここで OH=5cos(π-0)=-5cose 直角三角形 COH に注目。 よってr=5+5cos0 [3] 0=0 のとき,PはAに一致し、 OP=5+5cos0 を満たす。 (*) 0 C A x (*) [1], [2]で導かれた HT-O C [4]0=1のとき,OP=5 で, π OP=5+5cos を満たす。 (*) 以上から、求める軌跡の極方程式はr=5+5cos 0 r=5+5cosが0=0, π 2 のときも成り立つかどうか をチェックする。 参考 r=5(1+cose) で表さ れる曲線をカージオイドと いう (p.151 も参照)。 極座標、極方程式

[3]θ＝0のときPはAに一致 とありますが、QもAと一致しますか？

極方程式と軌跡 00000 基本 例題 83 点Aの極座標を (10, 0), 極0と点Aを結ぶ線分を直径とする円Cの周上の任 意の点をQとする。点Qにおける円Cの接線に極から垂線OP を下ろし、 Pの極座標を (r, 0) とするとき,その軌跡の極方程式を求めよ。 ただし, 00πとする。 [類 岡山理科大 基本 81 指針点P(r, 0) について,r,の関係式を導くために,円Cの中心Cから直線 OP に垂線 CHを下ろし、 OP と HP, OH の関係に注目する。 まず, 00 0<<> π 2'2 <<πで場合分けをして, 0 の関係式を求め,次に, 0=0, の各場合について吟味する。 CHART 軌跡 軌跡上の動点 (r, 0)の関係式を導く 解答 Cの中心をCとし, Cから直線OP に垂線 CH を下ろすと OP=r, HP=5 [1]08のとき [1] P Q 10=7を境目として,Hが 線分 OP 上にあるときと 線分 OP の延長上にある ときに分かれる。 OP=HP+OH OH=5cos0 であるから r=5+5cos [2]のとき [2] OP=HP-OH ここで OH=5cos (π-0)=-5cos0 よって r=5+5cose [3] 6=0 のとき, PはAに一致し、 OP=5+5cos0 を満たす。(*) [4] 6=1のとき,OP=5で, H+ 0 -5-C -5 A X <直角三角形 COH に注目。 C P 1-5- C A H-O C π OP=5+5cos を満たす。(*) 以上から、求める軌跡の極方程式は r=5+5cos0 練習 <直角三角形 COH に注目 (*) [1], [2]で導かれた r=5+5cose が 8 = 0, のときも成り立つかど をチェックする。 [参考] r=5(1+cos e) で れる曲線をカージオイ いう (p.151 も参照)。 点Cを中心とする半径 αの円 C の定直径をOA とする。 点Pは円C上の動 © 83点Pにおける接線に0から垂線OQを引き, OQの延長上に点 R をとって QR=α とする。 Oを極, 始線をOAとする極座標上において, 点Rの極座 (10)(ただし,0≦) とするとき (1)点Rの軌跡の極方程式を求めよ。 (2)直線 OR の点R における垂線 RQ' は, 点C を中心とする定円に接する を示せ。 Op.152E

マーカーのところで、S(t)を微分したとき、eってそのまま残らないんですか？

404 重要 例題 243 定積分で表された関数の最大・最小 (3) E めよ。 お 00000 (長岡技科大) 基本2027 20 指針▷ 絶対値 場合に分ける y 場合分けの境目はext=0の解で x=logt ここで,条件1≦tse より 0≦logt≦1であるから, 10gtは積 t-1 e-t 区間 0≦x≦1の内部にある。 よって, 積分区間 0≦x≦1を 0≦x≦logtとlogt≦x≦1に分割して定積分 Solex-t\dx を 解答 計算する。 Logt 19 ② x=logt xbxnia+xbx ex-t=0 とすると 1≦t≦e であるから 0≤logt≤1 ゆえに 0≦x≦logt のとき logt≤x≤10 よって 1800円 ゆえに logt (logt は単調増加。 -A ex-t=-(ex-t), AA (A0) lex-t|=ex-t S(t)=S„** {−(e*−t)}dx+S'«(ex-1)dx logt logt 1(x) ==== [e*-tx] + [ex-tx]" ? + + + + 0 logt 0 Jlogt =-2(ehost -flogt)+1+e-tnie == =-2t+2tlogt+1+e-t -1)=2tlogt-3tte-1 S'(t)=2logt+2t•· -3=2logt-1 1 t 1 S'(t) = 0 とすると logt= 2 よって t=ež=√e t 51 Je ... e - 0 + A (A≥0) 積分変数はxであるから、 tは定数として扱う。 -[F(x)+8x =-2F(c)+F(a)+F(8) Melost=t xb/x800- 微分法を利用して最大 最小値を求める。 S(t) e-2 最小 0 ive et e-2√e+1 表は右のようになる。 ここで e-2<1, ◄e=2.718... S√e) =2√elog√e-3√e +e+1=e-2√e +1 log√e= したがって, S(t) は t=eのとき最大値 1, 1≦t≦e における S(t)の増減 S'(t) S(t) e-2 極小 1 t=√e のとき最小値 e-2√e +1 をとる。

狭まる境界は沈み込み帯と衝突帯の2つがありますが、どうして力の働き方は同じなのに2種類できるのでしょうか？ちなみに私の予想は陸地と海の境目にプレート境界があるのが沈み込み帯、どっちのプレートも陸地なのが衝突帯というものです。 あと、沈み込み帯は海溝の他に火山もできると断言で... 続きを読む

青い印のことろで、なぜπになるんですか？

本 例題22 定臓分! 答 = 定楨分の計算 (3) ・・・ 絶対値つき sinx+3 cosxdx を求めよ。 > 絶対値 場合に分ける 場合の分かれ目は,|内の式 = 0 から pinx+v sinx+√/3cosx=0 すなわち 2sinx++ を満たすxの値である。 2sin(x+1)=0 ↑左辺を合成。 ||をはずしたら,||内の式の正負の境目で 積分区間を分割して, 定積分を計算する。········ VJcosx|=|2sin 1=2sin(x+1)= 00000 379 p.376 基本事項 基本 225 -2 2sin(x+4) (055) 2 01-2sin(x+2) (1/3) 1=82sin(x+1/5)dx+S2-1-2sin(x+1/x)dx よって 3 dt 3 =25sin(x+/-)dx-2.5.sin(x+/2x -2-006(x+4)-2-cos(x+3). 1/6 $_jus(x)dx Self(x)dx 27/3 T 64 =Sf(x)dx+$1-f(x)}dx f(x)の区間 f(x) 20の区間 π π =2 (+税) (1 π -cos =cs (x+/-) とすると =((1)) [F(x)]-[F(x)=21 =2F(b)-F(a)-F(c) として計算。 章 3 定積分とその基本性質 33 1=2{F(37)-F(0)}-2{F(x)-F(x)=4F(x)-2F(0)-2F(x) =4(-cos 7)-2(-cos)-2(-cos x)=4.1-2(-2)-2--4 th= 3 3 1b 新周期性を利用した計算の工夫