数学Bの格子点の個数の問題の解き方が全体的にわかりません。どなたか教えてください🙏

座標平面上で、x座標とy座標がともに整数である点を格子点という。 kを自然数とする。3つの不等式 y≧0, y≦x,y≦-3x+12k によって表 される領域Dは,3点(0,0),( k), (0) を頂点と k, する三角形の周および内部である。 (1) k=1のとき, D に含まれる格子点の個数はエオ個である。 (2) 整数が 0≤j≤ k を満たすとき, D に含まれる格子点でx座標が である点は (カキ)個あるから, Dに含まれる格子点でx座標 が0以上 以下である点の個数gをkを用いて表すと g=ク (3) D に含まれる格子点の個数 カ=サシ + スk+セ k+コである。 +ケ をkを用いて表すと, である。 [16 センター試験追試 改〕

【数B 数列 】 代入の仕方がわからないです、、教えてください😭

17. 数列{an}はすべての自然数nに対して 2 3 (az²+az²+..+an²) 以下の問いに答えよ。 (1) az, Q3, as を求めよ。 ① az= 6 = nanan+1を満たし = 2である。このとき、 a3= ① a4 ① = 14

この問題の最後の部分について質問があります 赤四角の“ゆえに〜”の証明の仕方が数学的帰納法なのか自分では理解できません。 n≧４でも成り立つと思うのに、なぜn≧５の時に成り立つのですか？ それで証明できるのも不思議です。 また，nで場合分けしてるのは何故ですか

重要例題100 分数関数をn回合成した関数 2x-3 x-1 について, ......, fn(x)=f(fn-1(x)) [n≧3] とする 9 x=1,x=2のとき, 関数f(x)= f(x)=f(f(x)), f(x)=f(fz(x)), このとき, fz(x), f(x) を計算し, fn(x) [n≧2] を求めよ。 基本! と順に求めて, その規則性をつかむ。 指針▷fn(x) を求めるには, fz(x), f(x), この問題では, (fofk)(x)=x, つまり fk+1(x)=x [恒等関数] となるものが出てくるから, fn(x) は x, f(x), fz(x), ...... f(x) の繰り返しとなる。 - ..... なお, fz(x), f(x) ････ と順に求めた結果, fn(x) の式が具体的に予想できる場合は, 予想したものを数学的帰納法 (数学B) で証明する, という方針で進めるとよい (→下 の練習 100)。 ......

添付画像３枚目の赤矢印以降がわかりません。 教えてほしいです。

nは0以上の整数とし Sn=(√3+√2)an+(√3-√2)2n でSnを定める. (1) Sn+2, Sn+1, S の間に成り立つ関係式を求めよ. のよっちゃか (2) 任意の n に対して Snは整数であることを示せ. (3) (√3+√2) 4010 の整数部分の1の位の数を求めよ. (横浜国立大 ( 類))

264の(1)で解説の下線の部分がよく分からないです。 (K+2)³/3-1/6(K+2)(K+3)(2K+3)>０を示すのではダメなのでしょうか？？

246 数学的帰納法によって,次の不等式を証明せよ。 -5, = * (1) nが自然数のとき 12+22+3°+..+n< 2n>3n+1 数のとき (n+1)3 3

黄色で引いた部分はどこから来たのですか？

よ。 271 参考事項 目題であるから、 目する。 30 ! 158 第n次導関数と等式の証明 1 (-1<x<1) について,等式 √1-x² (数f(x) が成り立つことを証明せよ。 ただし, f(®(x)=f(x) とする。 (1-x2)f(n+1)(x)-(2n+1)xf(m)(x)-²-1)(x)=0(nは自然 例題 自然数nについての問題であるから、 数学的帰納法 による証明が有効である。 nk+1のとき,等式は (1-x2)f(k+2)(x)(2k+3)xf(+1)(x)-(k+1)^(x)=0 n=kのときの等式の両辺をxで微分し, それを変形する。・・・ 1 これをn=kのときの等式を仮定して証明する。 具体的には、 (+2)(x) を作るために、 CHART 自然数nの問題 数学的帰納法で証明 ## 使明したい等式を①とする。このとき f(x)=(1-x²)-2, f'(x)=x(1-x²)-², f(x)= (1-x²) ¹ + x[-2 (1-x²)-¹} (-2x) 練習 158 ={(1-x²)+3x²}(1-x²)−2 = (2x²+1)(1-x²)-² n=1のとき (1-x²)ƒ" (x) — 3xf'(x) —ƒ(x) =(2x²+1)(1-x²)-²-3x² (1-x²)¯³-(1-x²) =(1-x²)(1-x²)¯¾—(1-x²) - — =0 よって、①は成り立つ。 [2] n=kのとき, ① が成り立つと仮定すると (1-x2)f(k+1)(x)-(2k+1)xf(k)(x)kfk-1)(x)=0 n=k+1のときを考えると, この両辺をxで微分して {-2x(+1)(x)+(1-x2)f(k+2)(x) (2k+1)f(k)(x) - ½ これを変形すると (1-x^²f(x+2)(x)-(2k+3)xf (+1)(x)-(k+1)^f(k)(x) = 0 よって,n=k+1のときも ①は成り立つ。 [1] [2] から すべての自然数nについて ① は成り立つ。 関数f(x)= 1 1+x2 -(2k+1)xf(k+1)(x-k2f(k)(x)=0 [1] f'(x)=x(1-x²) =x{f(x)]³ f'(x) = {f(x)}* 1269 したがって f" (x) {f(x)} +3x{f(x)}^2f(x) 1 {f(x)}^ =f(x)+3xf'(x) =1x2 から (1-x²)ƒ"(x) =f(x)+3xf'(x) 5章 f() 22 について 等式 (1+x²) f(n)(x)+2nxf(n-¹)(x)+n(n-1)f(-2)(x)=0 (n≥2) が成り立つことを証明せよ。 ただし, f(x)=f(x) とする。 としてもよい。 [{f(k+1)(x)}'=f(k+2(x) {f(k)(x)=f(x+1)(x) {f(x-1)(x)=f(h)(x) 高次関数 関数のいろいろな表し方と導関数 [ 類 横浜市大 ] 介 定着 Cp. 276 EX13 大学入 漏れ から 似次どうかんすう だから、 to'p 3 (1) 24/1/2 の B612 02

問題文を分かりやすく説明して欲しいです。

] 異なるn個の数 1 2 ... n を1列に並べてできる順列のうち、次の条件をみたす 順列à, à2,.., in の個数をaとする。 |ik-k| ≤1 (k=1, 2, -, n) 例えば,a=1 であり、a2=2である。このとき、次の問いに答えよ。 (1) 3, a 」 を求めよ。 (2) +2 +1 と を用いて表せ。 a (3)が偶数のとき, ann+2-(an+1)^=1が成り立つことを, 数学的帰納法によって 証明せよ。 L

赤のカッコで囲んだところの計算がわかりません

等式の証明 日本 135 が自然数のとき、 数学的帰納法を用いて次の等式を証明せよ。 ·+n•n!−(n+1)!−1 1-11+2-21+ による証明は、前ページの のようにす [1] n=1のときを証明 [2] のときに成り立つという仮定のもとで、 n=1のときも成り立つことを証明 [1] [2] より すべての自然数で成り立つ。 [2] においては、 カーkのとき ① が成り立つと仮定した等式を使って、①+1のと 立つこととなる。 [I] n=1のとき 左辺1-11+2・2!+······+·+(k+1)(+1)! が、 ((+1)+1)! -1に等しくな ることを示す。 また、結論を忘れずに書くこと。 [1], [2] が示されたとすると、次のようにして、1.2.3. **** (左辺)=1.11=1, (右辺)=(1+1)! -1-1 よって、①は成り立つ。 [2] =kのとき、①が成り立つと仮定すると [1] から、n=1のとき ① が成り立つ (*) および [2] から、n=2のとき ① が成り立つ ****** (**) (**) および [2] から、n=3のとき① が成り立つ 1・1!+2・2! + ······+k.k!= (k+1)!−1。 ② 00000 =k+1のときを考えると, ② から ****** 1・1! +2・2! + ······+k.k!+(k+1) (k+1)! =(k+1)! -1+(k+1) (k+1)! ={1+(k+1)}(k+1)! -1 =(k+2)(k+1)!−1=(k+2)!-1 ={(k+1)+1}!-1 よって,n=k+1 のときにも ①は成り立つ。 1] [2] から すべての自然数nについて ①は成り立つ。 (honi) 早稲田大] 20① 591 ATHERS BEL とり は数学的帰納法の 決まり文句｡ 答案ではきちん と書くようにしよう。 でーとおいたもの。 [2] nk+1のときの①の左 辺。 PAR n=k+1のときの ① の右 辺 1

（）で囲んだところの式変形が分かりません。

等式の証明 日本 135 が自然数のとき、 数学的帰納法を用いて次の等式を証明せよ。 ·+n•n!−(n+1)!−1 1-11+2-21+ による証明は、前ページの のようにす [1] n=1のときを証明 [2] のときに成り立つという仮定のもとで、 n=1のときも成り立つことを証明 [1] [2] より すべての自然数で成り立つ。 [2] においては、 カーkのとき ① が成り立つと仮定した等式を使って、①+1のと 立つこととなる。 [I] n=1のとき 左辺1-11+2・2!+······+·+(k+1)(+1)! が、 ((+1)+1)! -1に等しくな ることを示す。 また、結論を忘れずに書くこと。 [1], [2] が示されたとすると、次のようにして、1.2.3. **** (左辺)=1.11=1, (右辺)=(1+1)! -1-1 よって、①は成り立つ。 [2] =kのとき、①が成り立つと仮定すると [1] から、n=1のとき ① が成り立つ (*) および [2] から、n=2のとき ① が成り立つ ****** (**) (**) および [2] から、n=3のとき① が成り立つ 1・1!+2・2! + ······+k.k!= (k+1)!−1。 ② 00000 =k+1のときを考えると, ② から ****** 1・1! +2・2! + ······+k.k!+(k+1) (k+1)! =(k+1)! -1+(k+1) (k+1)! ={1+(k+1)}(k+1)! -1 =(k+2)(k+1)!−1=(k+2)!-1 ={(k+1)+1}!-1 よって,n=k+1 のときにも ①は成り立つ。 1] [2] から すべての自然数nについて ①は成り立つ。 (honi) 早稲田大] 20① 591 ATHERS BEL とり は数学的帰納法の 決まり文句｡ 答案ではきちん と書くようにしよう。 でーとおいたもの。 [2] nk+1のときの①の左 辺。 PAR n=k+1のときの ① の右 辺 1

この写真の(2)の問題の赤丸の部分についてですが {2(k+1)}/(k+2)という式はどこから出てきたのですか？

nが自然数のとき, 次の各式が成立することを数学的帰納法 用いて証明せよ。 (1) 1²+2²+...+n² = n(n+1)(2n+1) 1 (2) 1+ + 133 + 2 (2) i)n=1のとき 左辺=1+- ここで, 左辺=1,右辺=241=1 となり,n=1のとき②は成立する。 ii)n=kのとき, ② が成立すると仮定すると 1 1 + 2 + + + + + = ₁ 1 2k 3 k=k+1 ②' の両辺に を加えると k+1 2k 右辺=- + k+1 k+1 1 2 1+1/2 すなわち, 1+1/12/201 1 + N 2k+1_2(k+1) + 11/13 +...+ n k+2 + ....+ 1 k+1 2n n+1 + ....+ k+1 1 k 2k+1 k+1 k (k+1)(k+2) 1 k+1 ->0 2k+1>2(k+1) k+2 k+ ₁ ≥ 2 (k+1) N k+2 k+1 215 【左辺を証明したい式 にする <ここがポイント これは, ②n=k+1 を代入したものである. よって, n=k+1 でも②は成立する。 i), ii) より, すべての自然数nについて ②は成立する。