R(実数全体の集合)上の任意の2つの閉区間は濃度が等しいことを示したいです どなたか教えて下さると嬉しいです よろしくお願いします

数学Ⅲの問題の質問です。 添付した写真の問題についてですが、なぜ最初にk≦x≦k+1と置くのでしょうか？ 個人的には、定積分と不等式は、ある閉区間の上で成り立つので、このような回答をしているのだと思うのですが、友達にうまく説明できず困ってしまいました。 他の人的には、なぜい... 続きを読む

例題 次の不等式を証明せよ。 ただしくnは自然数とする。 15 12 1+ 1 1 +···…+->log(n+1) 3 n 証明 自然数kに対して, 仮三xミk+1のとき 1 1 2 k x また,等号は常には成り立たな 1 い。よって x S- dx> k+1 1 dx x k k k k+1 dx 1 すなわち k 1 k 10 k x 0 k k+1 > -S-S,+S.4 e+1 dx 1 ゆえに 2 k=1 k n k=1Jk x * e+1 dx *2 dx 3 dx dx * n+1 dx 右辺は 2 1 x J3 X 「n x k=1Jk 1n+1 [ogla *n+1 dx lxl|| =log(n+1) 三 x 終 したがって 1++ >g(n+1) 2 3 *「注意】例題 15 で示した不等式の両辺の極限を考えると, limlog(n+1)=o n→0 1 1 3 から 2 n 第7章 積分法

(ⅲ) はどのように示せば良いのでしょうか？ 経験上、微分可能が絡むと思うのですが、うまくいきません。 ※ 使うかどうか分かりませんが、一応前問の自分の答えも載せておきます。

問題 2.8.定数c>0 と閉区間I上で定義された関数 f(z) が F(2) - f(y)| <cla - yl, Va, y eI を満たすとする。 (i) f はI上で連続である事を示せ。 (ii) c<1の時 an+l = f(an)と帰納的に定義される数列 {am}n はコーシー列である 事を示せ。 (i) c<1の時 f(z) = となる点がI上で唯一一つ存在する事を示せ。

理由の書き方が分かりません 助けてください

1)集合E = {tanz; 0<aく} を答えよ.またその理由を述べよ。 に対し、max E,minE,sup E, inf E

この問題がわからないです。 xが閉区間なのか開区間かで、答えが変わると思うのですが、この解が閉区間、開区間のどちらなのかわかりません。 初歩的な質問で申し訳ないのですが、教えてください。

最大,震小値、mf, Sup カがあれは求めよ、 12-2て+2|0<<3子 2-1けじ, 火=11

解答2行目 qの一般項がこのようになる理由がわからないので教えてください！

2は止の養数で m<nとする。mとnの間にあって、かを分母と は素数 |する既約分数の総和を求めよ。 m, n 523 OO000 指針>既約分数の和→全体の和 から 整数の和を除く という方針で求める。 (同志社大)本8、0 まず,具体的な値で考えてみよう。例えば,2と5の間にあって3を分母とする分数は 7 8 9 3'3'3 3'3'3'3' 3 10 11 12 13 14 3章 であり,既約分数の和は(*)の和から, 3と4を引くことで求められる。 12 このことを一般化すればよい。 t(*)は等差数例であり,3と4は 2と5の間にある整数である。 解答 まず,qを自然数として, m< 9<nを満たす p を求める。 p pm<q<pnであるから 『_ pm+1 A「mとnの間」であるから、 両端のmとnは含まない。 q= pm+1, pm+2, pm+2 pn-1 0| (初項 Pm+1 p 公一の よって これらの和を Siとすると 等差数列。 (pn-1)-(pm+1)+1/pm+1 pn-1 4S--Ma+) S= 2 p p pn-pm-1 (m+n) 2 えに 0のうち, p が整数となるものは mとnの間にある整数。 これらの和を S2 とすると 4S-a+) S2= 2 「n-m-1 2 んに,求める総和をSとすると., S=S;-S,であるから+ (全体の和)-(整数の和) n-m- 2 S=n-pm-1(m+n)-2ーガー1 (m+n) 2 ;(m+n)}{(n-m)かー(nーm)} 2 (m+n)(n-m)(p-1) ) R 2

（3）が分かりません、、、 途中まで進みはしたのですが、そこからどう変形をしたら良いのか分かりませんでした💦 lim (x→0)sinx/x=1 を使いたいなと思って式変形を頑張ったのですが、、、 教えてください、、！！お願いします🙇‍♂️

(3) 閉区間 [1,2] から (=D1.5707963) を除いた集合上で定義された関数 h(x) - sin(tan a) = COS C. を考える。(cos2 と sin(tanz) の積である.)極限 lim h(x) が存在するかを調べ, 存在 →号 するのであればその値を求めよ。 t l」

すみません、囲った部分の解き方が分からなかったので、教えて頂けるとありがたいです🙇‍♀️🙇‍♀️

1 例 xdx 三 0 2 Proof. f(x) =x は閉区間 [0, 1] で連続であるから, f(x) は閉区間 [0,1] で積分可能である. よって n | xdx = lim n→00 i=1 n n 1 = lim n→0 n i-1 n - lim- =1i 2 n→0 n i=1 1 = lim- ニ 2 n→0 n 2 02 問, xdx = であることを例にならって示せ。 3 1一2

この問題の解法がわかりません。教えてくださるとうれしいです。🙇

IV 関数 f(z) = na(1 - z)" (n= 1,2,3, …)について,以下の問いに答えよ。 (配点 40 点) nを固定するとき,f,(z) の閉区間 [0, 1] での最大値を M,, それを与える』の 値をa,とする。このとき, M,と z,をそれぞれnで表せ。 問1 問2 問1の M,と anに対して,lim M, と lim En をそれぞれ求めよ。 n→○ n→○

なぜ定義域では-2≦x≦2なのに微分するときは-2<x<2の範囲で-2や2を除いているのでしょうか？

其本 例題I9 関数の最大·最小 (1) |関数 y=V4-x° -xの最大値と最小値を求めよ。 305 指針>区間における 最大値·最小値 は, 極大値·極小値·端の値の大小を比較して求める。 それには,増滅装を作ると考えやすい。 p.299 基本事項 4, 基本 175,176 CHART 閉区間での最大·最小 極値と端の値をチェック 6章 解答 25 定義域は,4-x°20から -2Sx<2 (まず,定義域を調べる。 -2x y= 2,4-x ーxー(4-x? V4-x? 2 -2<x<2のとき -1= 通分する。 THAHO 2 y=0 とすると 0の両辺を平方すると 0より,x三0であるから(*) 『よって、-2<x\2におけるyの増減表は次のようになる。 ーx=V4-x の x2=4-x (*)(0の右辺)N0から ーx20 ゆえに x%0 .2 よって x2=2 x=-V2 y=4-ーx 最大 |2/2 ー2 -V2 2 12 x 2 y 0 -2 0 極大 2/2 -2 mi -2-- 最小 2 -2 y y=ーx したがって x=ー/2 で最大値2/2,x=2 で最小値 -2 | f(2)<f(-2) 関数の値の変化、最大·最小