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■と最小値を求めよ。
p.283 基本事項 3
....+
二極値を調べて、最
らない点に注意。
の方針で書く。
2
-2
-1
7/14
X
5/15x
例題 187 最大・最小の文章題(微分利用)
半径6
柱の高さを求めよ。
6の球に内接する直円柱の体積の最大値を求めよ。 また、そのときの直
CHART
SOLUTION
&l
文章題の解法
295
00000
最大・最小を求めたい量を式で表しやすいように変数を選ぶ
億円柱の高さを、
例えば2t とすると計算がスムーズになる。
のとりうる前の番のを求めておくことも忘れずに。
このとき、直円柱の底面の
半径は62-12
面積はπ(√62-12)2π(36-L2)
したがって、直円柱の体積はtの3次関数となる。
円柱の高さを 2t とすると
0<t<6
√62-12
●存在しないこと
を含む区間である
を確認。 端を含ま
一間では最大値、最
直円柱の底面の半径は
ここで,直円柱の体積をyとすると
y=(√36-12)2.2t
=(36-t2) 2t=2(36t-t³)
tで微分すると
-6----
基本
◆三平方の定理から。
(直円柱の体積)
=(底面積)×(高さ)
6章
dy
をy'で表す。
dt
21
端の値について
に記入する。
=-6(t+2√3)(t-2√3)
y'=2z(36-3t2)=-6z(t2-12)
大値 27 と端
44
27
0<t<6 において, y' = 0 となるの
比較。
はt=2√3 のときである。
小値 -3と端
比較。
よって, 0<t<6 におけるy
t
0
2√3
...
6
10%
の増減表は右のようになる。
ゆえに, yt=2√3 で極
大かつ最大となり,その値は
y'
+
0
-
y
> 極大 ゝ
おく。
ではな
2{362√3-(2√3)3}=2.2√3(36-12)=96√3π
また,このとき,直円柱の高さは
したがって 最大値 96√3 π, 高さ43
2.2√3=4√3
る最大
関数の値の変化
定義域は 0<t <6 であ
るから、増減表の左端,
右端のyは空欄にして
←t=2√3 のとき
√62-12=2√6
よって、 直円柱の高さと
底面の直径との比は
4√34√6=1:√2
さ
直径
y
大
/A
0
Bx
x≦5)
RACTICE 1872
曲線y=9-x2 とx軸との交点をA, B とし, 線分AB と
D
この曲線で囲まれた部分に図のように台形ABCD を内接
させるときこの台形の面積の最大値を求めよ。 また, そ
のときの点Cの座標を求めよ。
M
