次の不定方程式の整数解を求めよ.
(1) 2x-3y=21
T
考え方 (1) 2x-3y=21 を 2x=3 (y+7) と変形し、 2と3は互いに素であることを利用する。
(2)xとyの係数に, 539=52×10+19 という関係がある.
2x=3(y+7) ..... ①
2と3は互いに素であるから, xは3の倍数とな
る。
したがって, kを整数として, x=3k とおける.
これを①に代入すると,
2×3k=3(y+7)
解答 (1) 2x-3y=21 より,
2k=y+7 より,
よって 求める整数解は,
y=2k-7
(2) 52x+539y=19
x=3k, y=2k-7 (kは整数)
(2x-3y=21 より,
よって,
(2) 539-52x10+19
2
y=3
x-7
yは整数より,xは3の倍数となる.
したがって, x=3k(kは整数) とおけ,
y=2k-7
x=3k, y=2k-7 (kは整数)
これを与えられた方程式に代入すると,
52x+(52×10+19)y=19
整理すると, 52(x+10y) =19(1-y) ..... ①
5219は互いに素であるから, x+10y は19の
倍数となり,んを整数として,
x+10y=19k, すなわち,
これこれを①に代入すると,
つまり52k=1-y より,
よって、求める整数解は,
x=539k-10,y=-52k+1 (kは整数)
x=19k-10y
52×19k=19(1-y)
y=-52k+1
122001
0012
xが3の倍数でないとき、
yは整数にならない.
xとyの係数の大きい方
の数 539 を小さい方の数
52 で割る.
y=-52k+1 より、
x=19k-10y
=19k-10(-52k+1)
=539k-10
