数IIの三角関数の最大・最小の問題です。 黄色マーカー部分で、 ①式の変形がこのようになるのが分からないので、途中式をお願いします。 ②θの値の求め方をお願いします。

145 149 49 三角関数の最大･最小〔1〕… 相互関係の利用 S (1) sin' + COSO (0<x) の最大値と最小値, のりの値を求めよ。 Action 三角比 (三角関数)の2乗を含む式は、1つの三角比 三角関数) で表せ 既知の問題に帰着 考え方は方程式や不等式のとき (例題147) と同じである。 sint (または COSO = t) だけの関数にする。 置き換えた文字 t の値の範囲に注意して, その2次関数の最大・最小を考える tの範囲 t= in 07 cos0? f(0) = sin'0+cosb=(1-cos2d) + cost だけの関数にし,≧0より =-cos2A+cos0+1 cose=t とおくと, 一π≧0より y = f(0) をtで表すと y = -t²+t+1 1≦t≦1の範囲において, vば 5 t = t=-1 のとき 最小値-1 πにおいて このとき, cos t=-1のとき, cos0 = -1 より よって, f(0) は 2 5 - (1 - 12 ) ² + 1/2 4 C(O) のとき 最大値 = 2 1 より TU TC のとき 最大値 3'3 0=-のとき Point... 三角関数の最大・最小 解答内の2次関数のグラフは, yとt = cose)の関係を表したグラフ であり,y=f(0) のグラフではないこ とに注意する。 y=f(0) のグラフは右の図のようにな る(数学Ⅲで学習)。 4 最小値-1 -1 ≤t≤ 10 4 CL O 11 2 -」 0 ππ t π 1/3 与えられた関数の 項が cose であるから、 cose だけの式にする およびその O YA -1 の文字のとり得るの 範囲に注意する。 nia る。 グラフの横軸はしです 5 4 x L y=f(0) 1

数学　整数の性質 下の写真の問題（1）についてです 解答に、「この不等式と89が素数であることより、」とあるのですが（赤マーカー部分）、 素数でなかったらどうなるんですか？解けないんですか？

_整数の性質 ~不定方程式の整数解~ (1) 到達問題の解説 11_1 n m (2) 整数a,bが2a+36=42 を満たすとき, ab の最大値は[ア ･かつmon を満たす自然数m,n を求めよ。 89 到達問題の (1) もアプローチ問題と同様に、 不定方程式の整数解を 求める問題だ。 (2) は積の最大値が問われているが､まず不定方程式 の解を求める必要がある。 「アプローチ問題」 で学んだ解法 STEP を 踏まえながら考えていこう。 →到達問題をもう一度見てみよう ← 1 方程式を整数の積の形に変形し、約数・倍数に注目 する (1) の方程式 1 1 1 m n 89 全く違って見えるが,積の形が目標であるから, まず分母を払って みよう。 両辺に89mn をかけて整理すると mn-89m-89n=0 となり、アプローチ問題 (1) と同タイプであることがわかる あと は積の形を目標に変形していけばよい。 (2) はアプローチ問題 (2) と同様に,具体的な整数解の1つを求めて 変形してもよいが, 42が3の倍数であるため, 36を移項し3でくくり 2a=3(14-b) G とする方が手間がかからない。 結果的にこれは、 具体的な整数解の1つ (a,b)=(0.14) を用いた変形となっている 【解答】 (1) m は,アプローチ問題 (1) の方程式とは 2 不等式により範囲を絞り, 考察対象を減らす (1) は, 方程式を積の形に直した後、mとnが自然数すなわち正の整 数であることと不等式 < n を利用すれば積の組合せを絞ることが できる。 1 1 = 12 89 り mn-89m-89n=0 m(n–89)–89n=0 m(n-89)-89(n-89+89)=0 (m-89)(n-89)=892 + である。 到達問題の解答 ('10 早稲田大・商) 具体的な整数解の1つとして (a,b)=(6.10) を用いると 2(a-6)=3(10-b) gum となる。 1 方程式を整数の積の形に変 形し、約数・倍数に注目する H 89 は素数なので、この式を満たす 8989の組合せのすべては、 (1, 892), (89, 89), (89², 1 (-1, -89), (-89, -89) (-89², -1) である。 「m, nはくを満たすぎ という条件から1個に絞ら ておこう。 難関大) 入試 (2) 入試 m,nはm<nを満たす自然数であるから, -89<m-89<n-89 この不等式と89 が素数であることより, (m-89, n-89)=(1, 89²) よって, m=90, n=8010 ...... 2a+36=42 変形して (答) 2a3(14-b) ..... ① 2と3は互いに素であるから αは3の倍数である。 よって, 整数kを用いて α=3k とおくことができ, このとき ①より, 2.3k=3(14-b) すなわち b=-2k+14 したがって, ab=3k(-2k+14) =-6k2+42k =-6(x-7)² + ¹47 んは整数であるから, abが最大になるのはk=3,4のとき であり、求める最大値は, ワンランク UP 演習 取り組んでみて、難しかったら、 講義に戻って考えよう。 -6.3°+42・3=72 ······ (答) 1 (1) pを素数とする。 x,yに関する方程式 + I = y P 2 不等式により範囲を絞り, 考察対象を減らす 2次関数の最大 最小は平方完成し て考える。 kは整数であり、2/7/27 とは! abt 72 60 1 方程式を整数の積の形に変 形し、約数・倍数に注目する ならないことに注意して、 前後の整! 数3,4について調べる。 1 は整数なので, ab は下の図のよう! にとびとびの値をとる。 O を満たす正の整数の組(x,y) をすべて求めよ。 ('09 お茶の水女子大理) (2) 7で割ると2余り, 11で割ると3余るような300 以下の自然数をすべて求めよ。 ('11 山形大工) Q 入試につながるヒント7で割ると2余る数と 11 で割ると余る数は、 整数を用いてどのように表されるだろうか。 UPの得点 /20点 別冊p.12の解答・解説で答え合わせをしよう! 29

二次関数で質問です。 「やさしい高校数学」という参考書だと式や定義域に文字が入っている最大最小を求める問題で、下に凸の最大値を求めるときは、xの範囲の中心線に注目して、中心線が軸より左か右かの2通りで分けると書いてあるんですが、チャートの問題では3通りに分けて書かれているの... 続きを読む

234 3章 2次関数 最大の Pocetos とりあえず最大値を求めよう。 最大値も範囲に注目して求めるよ。 場合は 「xの範囲の中心線」に注目するんだ。 今回は-3≦x≦1より、 との中心、つまり, 中心線はx=-1だね。 この中心線が軸より左か右か で2通りに分けるんだ。 じゃ、次に (2) を求めていこう。会合 「最大値が1になるって?」 (2) y=(x+3a)²-9a²-2 (i)-is-3a つまり as 1/2のとき x=-3のとき KATEN A=121 最大値 -18a+7=11 y=x2+6ax-2に x=-3を代入した 2 9 よって a=-- これはas/1/3という条 件を満たす。 x=1のとき 最大値 6a-1=11 t y=x²+6ax-2に x=1を代入した () -3a<-1 つまり a>1/3のと よって a=2 これはa> /1/23 という条 件を満たす。 -3-1-3a も含む -3 -3a CLEME DE->T (1) TXODE-SE- UNJUS も含む -31 -3a 1 SWAJ -31 -3a ( )( ) より a=-2.2c 例題 3-16 (2) 大衣を (i),(ii) 答え 9 「x=-3やx=lが軸より左か右かは考えなくていいんですね。｣ 15006--08- うま ラト うに て答 例題

下の問題で(2)の範囲に出てくる4はどの4ですか？あと場合分けが3ついるのはなぜですか？

例題 73 2次関数の最大・最小 a>0とする。 2次関数f(x)=x2-4x+5 (0≦x≦a)について (1) f(x) の最小値 m (a) を求めよ。 (2) f(x) の最大値 M (α) を求めよ。 1 T

数Iの二次関数の最大・最小の問題です。 なぜy切片が5だと分かるのでしょうか。 求め方を教えてください。よろしくお願いします。

(ア)~ (ウ)より M(a) = したがって, y = M(α) のグラフは 右の図の実線部分。 ((a−2)² +1 (a < 1 のとき) (α=1のとき) (1 <a のとき) (2) (ア) +2 < 2 すなわち α <0 のとき AV 軸は区間より右にあるから、f(x) はx=a+2のとき最小となる。 よって m(a) = f(a+2) = a² + 1 2 a²+1 よって Oa+22 (イ) a≦2≦a +2 すなわち 0≦a≦2のとき 軸は区間内にあるから, f(x) は x=2のとき最小となる。 よって (ウ) 2 <α のとき 軸は区間より左にあるから, f(x) は x = α のとき最小となる。 (ア)~ (ウ)より m(a) = f(a) = a² − 4a+5 = (a −2)² +1 m(a)=1 m(a) = f(2) = 1 [a² +1 a (a < 0 のとき) (0≦a≦2のとき) ((a−2)2 +1 (2<αのとき 15 (83@0 >,»), したがって, y=m(a) のグラフは最小 右の図の実線部分。 Oa 2a+2 x AY 0 a W 2 =(a+2) のグラフは、 y=f(a) のグラフを 軸方向に2だけ平行 移動したものである。 aa+2x (0) a≧2かつ 0≦a f(x) は区間内で減少する から f(a) > f (a +2) (1 a≦2 かつ 2 ≦a+2 より 特講 すなわち0≦a≦2 a f(x) は区間内で増加する から f(a) <f(a+2) $ $30 (=D ! 2次関数f(x)=-2x-3 (a-1≦x≦a+1) について M(g)のグラフをかけ。 2次関数の最大・最小 P-cer

t＞0ではなく3x乗＞0、3-x乗＞0を示さないといけないのはどうして分かるんですか？等号成立の時に最小値を求めているのは何故ですか？

40 重要 例題 150 指数関数の最大・最小 (2) y=9x+9-x-31+x - 31-x+2 について 128 (1) t=3*+3~x とおいて,yをtの式で表せ。 (2) y の最小値と,そのときのxの値を求めよ。 CHART & SOLUTION ax+axax+ax の関数の最大・最小 おき換え [+αx=t] で tの関数へ 変域に注意 (1) x2+y²=(x+y)2-2xy を利用して, 9*+9-x を t で表す。 (2)tの変域は,3*> 0, 3-x>0 であるから, (相加平均) (相乗平均) を利用して求めるこ とができる。yはtの2次式で表され, 2次関数の最大・最小の問題に帰着。 解答 (1) y=9*+9-x-(31+x+31-x)+2 ここで よって ゆえに 9*+9-x=(3^2+(3-x)2=(3^+3-x)2-2・3・3-x =(3x+3-x)2-2=t-2 y=t2-2-3t+2 y=t2-3t ①2 (2) 3*>0,3x>0 であるから,相加平均と相乗平均の大小 関係により ①から 974 31+x+31-x=3(3x+3-x)=3t 3x+3-x≧2√3%•3 x = 2 すなわち t≧2 等号は, 3*=3-x すなわち x = -x から x=0のとき成 り立つ。 2 をとる。 ...... 9 y=lt- 2 t≧2 の範囲において,yは t=2で最小値 - 2 をとる。 t=2 のとき, ② から x=0 よって, y は x=0 で最小値-2 YA y=f2-3t (t≥2) ON 3 N/W 22 最小 大 基本144,149 ① a²+a-² = (a +a¯¹)²-2aa²¹ =(a+a-¹)²-2 (相加平均)≧ (相乗平均) a> 0, b>0のとき √ab a+b 2 a=b のとき等号成立 t=3* ◆2次式は基本形に変形。 [inf. t=3*+3のグラフ tht=3+3 t=3-¹

至急お願いします🙇‍♀️ 数1の二次関数最大最小の問題です。 答えを見たらグラフの曲線がX軸よりも下になっています。何故X軸よりも下に曲線が行くのか理由とそれを求める方法を教えて欲しいです。説明へたですいません

定義域内で最大値・最小値が与えられたとき 例題 42 区間-1≦x≦5における関数 y=x2-6x+αの最大値が2であるとき,定数a の値を求めよ。 定義域があるので、最大値は,区間の両端のどちらかになる。

二次関数の定義域の片方がわからないやつの問題です。 右側のピンクの付箋にある通りなんで急に(1)で定義域の中央の値を出すのかよくわかりません。 教えてください！！！

112 定義域の一端が動く場合の関数の最大・最小 基本例題 63 aは正の定数とする。 0≦x≦a における関数 f(x)=x2-4x+5について (1) 最大値を求めよ。 V CHART & SOLUTION 定義域の一端が動く場合の2次関数の最大・最小 軸と定義域の位置関係で場合分け 定義域が 0≦x≦a である から、文字αの値が増加する と定義域の右端が動いて, x の変域が広がっていく。 したがって,αの値によって, 最大値と最小値をとるxの 値が変わるので場合分けが必要となる。 (1) y=f(x)のグラフは下に凸の放物線であるから,軸からの距離が遠いほどの値 きい (p.110 INFORMATION 参照)。 よって, 定義域 0≦x≦α の両端から軸までの距離が等しくなる (軸が定義域の中央に 致する)ようなαの値が場合分けの境目となる。 x=0 x=a (2) 最小値を求めよ。 [1] 軸が定義域の [2] 軸が定義域の 中央より右 中央に一致 下軸 区間の 右端が 動く x=0 定義域の両 端から軸ま ! での距離が 等しいとき p.107 基本事項 2. 軸 x=a 区間の 右端が 動く x=0 [3] 軸が定義域の 中央より左 軸 ● 最大 1 (1)定義域 0≦x≦a の中央の値は 1/2である。 [1] [1] 02 すなわち0<a<4 のとき 図 [1] から, x=0 で最大となる。 最大値は f(0)=5 [2] 1/21 2 すなわちa=4 のとき 図 [2] から,x=0, 4で最大となる。 最大値は f(0)=f(4)=5 [3] 2</1/17 すなわち 4 <a のとき 図 [3] から, x=α で最大となる。 最大値は f(a)=a²-4a+5 最大 x=0 [2] [1]~[3] から 0<a<4 のときx=0 で最大値 5 a=4 のとき x=0, 4 で最大値 5 a>4 のとき x=α で最大値α²-4a +5 最大 x=0 [3] |x=2 x=0 なんで急に がででてるの 最大 x=4 10 ● 最大 | x=2x-10/20 044)との 距離が等しい。 よって f(0)=f(a) 最大値をとるxの値が 2つあるので、 その2つ の値を答える。 [3] 軸が定義域の中央 x=a 113 (2) 軸 x=2 が定義域 0≦x≦a に含まれるかどうかを考える。 [4] x = 01/23 より左にあるか 、x=a の方が軸より 遠い｡ よって f(0) <f(a) 答えを最後にまとめて く。 3章 [4] 軸が定義域の右外にあ 8 2次関数の最大・最小と決定

157.2 記述に問題ないですか？？

246 基本例題157 三角関数の最大 最小 (4) ･･･t=sin+cos0 ①①00 関数 f(0) = sin20+2(sin0+ cos 0) - 1 を考える。 ただし, 0≦O<2πとする。 (1) t=sin0+cose とおくとき, f(0) を tの式で表せ。 (2) t のとりうる値の範囲を求めよ。 (3) f(0) の最大値と最小値を求め,そのときの0の値を求めよ。 415 指針▷ (1) t=sin+cose の両辺を2乗すると, 2sin cos 0 が現れる。 解答 (1) t = sin0+cose の両辺を2乗すると (2) sin+cose の最大値 最小値を求めるのと同じ。 (3)(1) の結果から,t の2次関数の最大・最小問題 (t の範囲に注意) となる。よって、 本例題141 と同様に 2次式は基本形に直すに従って処理する。 0 ゆえに したがって t2=sin20+2sin Acos0+cos20 t2=1+sin20 よって f(0)=t2-1+2t-1=t+2t-2 (2) t=sin0+cos0=√/2sin (0+4) ① 9 00 <2のとき,40+1 したがって -15sin(0+)≤15 -√2 ≤t≤√2 (3) (1) から f(0)=t2+2t-2=(t+1)²-3 -√2≦t≦√2の範囲において, f(0) は t=√2で最大値 2√2, t=-1で最小値-3 をとる。 t=√2 のとき, ① から sin (0+4)=1 =1& 76ain ②の範囲で解くと t=-1のとき, ① から ② の範囲で解くと よって π 0+ T π...... ・・・･･ ② であるから π 4 2 0+ sin20=t2-1 π 5 4 4 Leben feue EN 0=7のとき最大値2√2; π, 1 sin (0+4)=-(+)nie √2 $2 すなわち匹 0=1 4 ; 0= π, 3 7 - すなわち0=π, 4 【sin²0+cos20=1 YA O 基本13 14 【類 秋田 ② : 合成後の変域に注意。 3 π 2 のとき最小値-3 √2 f(0) 2√2-1 -1 1 iO 最小 -3 1

この問題の(ⅴ)(ⅵ)になんで最大値や最小値になしが出てくるのですか？

(3) y=x²-2x-1=(x-1)-2 よって 頂点 (1,-2) で下に凸. グラフは右のようになる. (i) x がすべての値をとるので, また, x=1のとき. () rが-1≦x≦0 の範囲を動くとき, グラフより, -1sys2. よって, x=-1 のとき, x=0のとき, (111) x 2≦x≦3の範囲を動くとき, グラフより, -1≦y≦2. よって、x=3のとき, 最大値 2 x=2のとき, 最小値 -1 (iv) x 0≦x≦2の範囲を動くとき, グラフより, -2≦y≦-1. よって, x=0, 2 のとき 最大値 -1 x=1のとき, 最小値 2 (v) x が-1<x<2の範囲を動くとき, グラフより, -2≦y<2. よって, 最大値なし また, x=1のとき, 最小値 2 (vi) x 3<x<4 の範囲を動くとき, グラフより,2<y<7. よって, 最大値、最小値ともになし ポイント 演習問題 35 最大値なし 最小値 2 最大値 2 最小値 -1 2次関数の最大、最小は, 範囲の両端と頂点のy座標の比較 次の関数の最大値、最小値を求めよ. (1) y=-x+2 (-1≤x≤2) (2) y=2x-1+|x-3 (1≦x≦4) (3) y=-2x2-r-1 (-1<x≦2) -1 -1 12