25 (1) 不等式|a+b|<la|+|b|を証明せよ。また,等号が成り立つ
のはどのようなときか。
(2)(1)の不等式を用いて,次の不等式を証明せよ。
|a-c<la-b|+|6-d
解答(1) |a+b|Z0, |al+|b|20
両辺の平方の差を考えると
の
(lal+|6|)?-|a+6|?=|a|?+2|||b|+|6|?-(a+b)?
=a°+2|ab| + b°-(a?+2ab+6)
=2(ab|-ab)>0
la+ b?<(la|+ ||)?
la+ b|<la|+|b|
等号が成り立つのは, |ab|= abすなわち ab>0のときである。
別解 -|aSaslal, -|b|<bハ_||であるから
ー(la+||)<a+b<ldl+|6|
la+ b|<la|+||
よって
ゆえに,①から
したがって
等号が成り立つのは,
(a=|a| かつ b=|b|)または(a=-|a| かつ b=-|b|)
すなわち(a0 かつ b20) または(a<0 かつ b<0)のときである。
(2) (1)の不等式において, aをa-b, bをb-cでおきかえると
(a-b)+(b-c)\ハla-b|+|6-d
la-c|<la-b|+6-d
参考 等号が成り立つのは,(a-b)(b-c)20のときである。
よって
