95 整数問題
K)5にで e
でについての2次方程式 -2mr+2m'+m-2=0 の解がす
べて整数となるような整数mをすべて求めよ。
因数分解できないので, 解の公式を使うことを考えると,
精講
=m±\D' となります。このままでは, がついているので,
整数とはいえませんが,最低でも D'20が必要だから, これでm
に範囲がつけば,うまくすれば,しほり込みに成功します。
解答
2-2mz+2m?+ m-2=0 より
っエ=m土Vm'ー(2m*+m-2) = m±\-m'-m+2
根号内は0以上だから, -m'-m+220
:(m+2)(m-1)ハ0
. -2<mハ1
よって, m=-2, -1, 0, 1
フこのうち,一m-m+2 が平方数となるのは
下の表より, m=-2, 1
(整数)の形にかけ
る数を平方数という
m
-2|-1
0
1
ーm'-m+2 0
2
2
0
② ポイント
2次方程式が整数解をもつとき, 「判別式 20」 に着目
実は,上のポイントは万能ではありません. 解答の中の判別式 20 から,
もし, m?-m-220 みたいな不等式がでてくると, mミ-1, 2<m となり,
しぼり込みに失敗してしまいます. (→演習問題 95)
6G1