長方形で囲んでいるところを具体的に教えてください。お願いします。

244 161 対数 不等式の解法 (2) 基本例題 不等式 10g2x-610gx2≧1 を解け。 CHART SOLUTION 対数不等式 おき換え [logax=t] でtの不等式へ 真数の条件 底αと1の大小関係に注意 底を2にそろえると log2x-- t 6 -≥1 - 底の変換公式 log₂x 6 t log2x=t (tは任意の実数, ただし t≠0) とおくと, t - - ≧1 となり,両辺に を掛けての2次不等式の問題に帰着できる。 ただし,tの符号によって不要 の向きが変わるので、t>0, t<0で場合分けをする要領で解く。・・･・・ 解答 対数の真数, 底の条件から x>0 かつ x=1 1 また 10gx2= 10g2x 6 よって, 不等式は log₂x ≧1 log2x [1] 10gx>0 すなわち x>1 のとき ① の両辺に10g2x を掛けて よって ゆえに (log2x)2-10g2x-6≧0 (log2x)²-6≥log2 x 1 (log2x+2) (10g2x-3)≧0 log2x+2>0 であるから 10g2x-3≧0 すなわち 10g2x≧3 底2は1より大きいから x≧8 これは x>1 を満たす。 [2]log2x<0 すなわち0<x<1のとき ① の両辺に10g2x を掛けて (log2x-6≦log2x2 よって (log2x)²-log2x-6≤0 (log2x+2)(10g2x-3)≦0 これは 0<x<1 を満たす。 1 [1], [2] から x1, 8≦x ゆえに log2x-3<0であるから 10g2x+2≧0 すなわち 10gx≧-2 よって ー2≦log2x<0 底2は1より大きいから 1 x<1 底を2にそろえる。 x=1 から 10gx 基 ■α>1 のとき､x^ loga x>0 t²-t-6 =(t+2)(t-3) 10g2x>0から。 log2xlog28 ◆α>1 のとき, 0<x<1では10g 10gx < 0 から。 log2 ≦log2x

(2)なんで実数解に-1も含まれるんですか？

20 基本例題 77 実数解をもつ条件(2) 8 00000 xの2次方程式(-2)x²-2(m+1)x+m+3=0 が実数解をもつよう 共通 に、定数mの値の範囲を定めよ。 (2) x の方程式 (m+1)x²+2(m-1)x+2m-5=0 がただ1つの実数解を もつとき,定数mの値を求めよ。 基本 87 1基本 76 CHART SOLUTION 方程式が実数解をもつ条件 ( 2 次の係数) ¥0 ならば 判別式の利用 (1) 2次方程式が実数解をもつ条件は D (2) 単に「方程式」 とあるから,m+1=0 (1次方程式) の場合と m+10 (2次方程式) の場合に分ける。・・ 解答 (1) 2次方程式であるから m-2=0 2次方程式の判別式をDとすると D 4 よって HACK 2={-(m+1)}^2-(m-2)(m+3)=m+7 2次方程式が実数解をもつための条件は D≧0であるから m+7≧0に ≧-7 よって ゆえに (2) +1=0 すなわちm=-1のとき よって, ただ1つの実数解x=- 数x=-1 m=2 -7≦m<2,2<m -4x-7=0 をもつ。 キー1 のとき 方程式は2次方程式で, 判別式をDとすると この2=(m-1)2-(m+1)(2m-5)=-m²+m+6 4 2次方程式がただ1つの実数解をもつための条件は D=0 であるから -m²+m+6=0 (m+2)(m-3)=0 ゆえに これを解いて m=-2,3 これらはmキー1 を満たす。 以上から、ただ1つの実数解をもつとき m=-2,-1, 3 483 S 26′型であるから, D 2 = -= b^2-ac を利用する。 ←m=2 かつ≧-7 -7 123 2 1-), ± (01-)-=y 40²²-2-30 ◆ 2次方程式が重解をも 場合である。厳 場合分 m "it 3章 2次方程式

この問題は、二つの方程式を足し合わせて、その判別式からkの値を定めて求めていくという方法ではできないのでしょうか？

64 2 あるか も 4=8 いよ 数を 79 方程式の共通解 重要 例題 2つの2次方程式 2x2+kx+4=0, x2+x+k=0 がただ1つの共通の実数 解をもつように、 定数kの値を定め, その共通解を求めよ。 SOLUTION CHART O 方程式の解 x=α が解⇔ x=α を代入して方程式が成り立つ 2つの方程式の共通解を x=α とすると,それぞれの式にx=α を代入した 2a²+ka+4=0,a²+α+k=0 が成り立つ。これを α,k についての連立方程式 とみて解く。 実数解という条件に注意。 解答 共通解を x=α とすると 2a²+ka+4=0 .. 1, ①②×2 から (k-2)α+4-2k=0 すなわち (k-2)a-2(k-2)=0 ...... a2+a+k=0 ...... ② (k-2)(a-2)=0 k=2 または α=2 よって ゆえに [1] k=2 のとき 2つの方程式は, ともに x2+x+2=0 となる。 その判別式をDとすると D=12-4・1・2=-7 D<0 であり,実数解をもたないから, k=2は適さない。 [2] α=2 のとき ② から 22+2+k=0 このとき2つの方程式は 2x²-6x+4=0 ゆえに ...... k=-6 x2+x-6=0 1', ②' の解はx=2, -3 よって,確かにただ1つの共通解x=2をもつ。 となり,①'の解はx=1, 2 [1],[2] から k=-6, 共通解はx=2 |基本 75 ...... ◆x = α を代入した①と ②の連立方程式を解く。 ◆ α² の項を消す。 125 ◆共通の実数解が存在する ための必要条件であるか 逆を調べ十分条件で あることを確かめる。 ROO tax²+bx+c=0 の判別 式はD=62-4ac ②2(x-1)(x-2)=0, (x-2)(x+3)=0 INFORMATION この例題の場合,連立方程式 ① ② を解くために,次数を下げる方針でα² の項を消 去したが、この方針がいつも最も有効とは限らない。 下の PRACTICE 79 の場合は,定数項を消去する方針の方が有効である。 PRACTICE... 79④ の方程式x^2-(k-3)x+5k=0, x2+(k-2)x-5k=0がただ1つの共通解をもつ 3章 2次方程式

不等式が常に成り立つ条件(絶対不等式)についてです。青く囲った2次不等式とは書いてないので~とありますが、(1)も不等式としか書いていないのに、なぜ場合分けしないのでしょうか？ 教えてくださいm(_ _)m

140 00000 基本 例題 89 不等式が常に成り立つ条件(絶対不等式) (1) すべての実数xについて、不等式 x2+ax+a+3>0 が成り立つように、 定数αの値の範囲を定めよ。 (2) すべての実数x に対して、不等式 kx2+(k+1)x+k≧0 が成り立つよ うな定数kの値の範囲を求めよ。 p.135 基本事項 CHART SOLUTION 定符号の2次式 ax²+bx+c>0< a>0, D<0 常に ax²+bx+c≦0⇔a<0, D≦0 (1) x2の係数は10→D<0であるαの条件を求める。 (2)単に「不等式」 とあるから h=0 の場合 (2次不等式でない場合) も考える ことに注意｡ k≠0 の場合, k<0 かつ D≦0 であるんの条件を求める。 解答 (1) x²+ax+a+3=0 の判別式をDとする。 2の係数は正であるから、常に不等式が成り立つ条件は D<0 ここで D<0 から 求めるαの値の範囲は (2) kx²+(k+1)x+k≦0 [1] k=0 のとき, ① は x≤0 これはすべての実数x に対しては成り立たない。 [2] k0 のとき, 2次方程式 kx2+(k+1)x+k=0 の判別 式をDとすると, すべての実数xに対して, ① が成り立 つための条件は k< 0 かつ D≦0 ここで D=(k+1)2-4・k・k=-3k²+2k+1 D≦0から よって D=α²-4・1・(a+3)=α²-4a-12=(a+2)(a-6) =−(3k+1)(k-1) (3k+1)(k-1)≧0 ks- -- 1≦k 3' ① とおく。 -2<a<6 <0 との共通範囲をとると k≦-- 3 k≤- 1/13 以上から 求めるんの値の範囲は ◆下に凸の放物線が常に x軸の上側にあるため の条件と同じ(p.135 基 本事項2参照)。 (1) 下に凸 D<0 k x 上に凸 D≤0 (2) 問題文に「2次｣ 不等式 とは書いてないので, k=0 の1次不等式の場 合も調べる。 (2) [2] x

方程式の共通解についてです。 ①なぜ、わざわざ‪α‬に置き換えて解くのでしょうか？xのままで解いてはいけない理由を教えてください。 ②2つの二次方程式をイコールで結んで解いてはいけないのは何故ですか？連立で解く時とイコールで結んで解いていい時、ダメな時を教えてください。... 続きを読む

重要 例題 00000 79 方程式の共通解 2つの2次方程式 2x2+kx+4=0,x2+x+h=0 がただ1つの共通の実数 解をもつように、定数kの値を定め、その共通解を求めよ。 1基本 75

赤い枠に部分です どうして2年目なのにn-1なんですか？利益が増えるはずなのにこれじゃ減ってるように思えます n +1にはならないんですか？ S=n + (n+1) +....... みたいな

472 基本例題 88 複利計算と等比数列 か。年利率をr, CHART O SOLUTION nの問題n=1,2,3, ・･････で調べてぃ化 (一般化) 「1年ごとの複利で計算」とは,1年ごとに利息を元金に繰り入れて利息を計算 することをいい, この計算方法を複利計算という。 なお、1年度末の元利合計は,次のように計算される。 [類 中央大] n年度末には元利合計はいくらになる p.467 基本事項 基本86 STATE) (元利合計)=(元金)+(元金)x(年利率)=(元金)×(1+年利率) ↑ α 円積み立て この例題を n=3 として考えてみると,各年度初めに積み立てるα円について、 それぞれ別々に元利合計を計算し、最後に総計を求めることにする。 1年度末 2 年度末 3 年度末 CATTER STO ↑ a(1+r)³ 円積み立て 2 a(1+r)² TO CAS 円積み立て =[="E 上の図から,3年度末には α(1+r)+α(1+r)^+α(1+r)円になる。 DO=B2 DE=? a(1+r) 解答 ・ 各年度初めの元金は、1年ごとに利息がついて (1+r) 倍とな る。よって,第1年度初めのα円は第n年度末にはα(1+r)" 円,第2年度初めのα円は第n 年度末には α(1+r)^-1 円, 243 3 PRACTICE･･・・ 88 ③ (1) 年利率5%の1年ごとの となる。 010 365 (1+5)(1 ゆえに、求める元利合計 S は、これらすべての和で S=a(1+r)"+a(1+r)¹-¹+······+a(1+r) (F)=(1+³) これは,初項 α(1+r), 公比 1+r, 項数nの等比数列の和であ るから, 求める元利合計は 340 S=1 _a(1+r){(1+r)”−1} _ a(1+r){(1+r)”−1} (1+r)-1 r 242 (円) 121 729 <- alt 1年後に α(1+r) 円, 2年後にα(1+r)2円, n年後に α (1+r)" 円になる。 ◆α(1+r)を初項, α(1+r)" を末項とする

三角関数の最大、最小についての問題なのですが、 写真の下2行の、ゆえにθ+π/3=からのπ/2と3π/2が 何の数字を表しているのかが分かりません💦

35 三角関数の最大・最小(2) 20 基本例題 次の関数の最大値と最小値を求めよ。 また, そのときの0の値を求めよ。 (1) y sin0+√3 cos 0 (0≤0<2π) (2) y=sin 0-cos0 (π≤0<2π) CHART SOLUTION 解答 Z (1) y=sin0+√3cos0=2sin (0+/) 0≦0<2πのとき よって, sin ( 8 +/-/3 ) がとる値の範囲は πC asino とbcose を含む式 合成が有効 ････・･･図] 左辺をrsin (0+α) の形に変形して考える。 +αのとりうる範囲に注意して, sin (x+α) のとりうる範囲を求める。 ゆえに πC -1≦sin (0+11であるから-2≦y≦2 3 π 0+1/6=14/07 すなわち 3 2 0+ 3 π 1/² = 0 + 1/ < 1/7/r 3 37 = πC 3 2" √3 すなわち ty (1,√3) x 017/12で最小値-2 |基本 133,134 sin で合成。 ← 1周するので -1≤sin (0+5)≤1 (1) =2で最大値200916nig-3 +0aushie $40 die SH 2

四角で囲ってある部分の出し方がわかりません。どうしてbで括ってるんですか？またどうして具体的な値が出てきたのかもわかりません。 教えてください

S 重要 例題 70 3点を通る平面上の点 の面料 3点 A(1,-1, 0),B(3,1,2),(3,3, 0)の定める平面をαとする。点 P(x,y,z)がα上にあるとき, x,y,zが満たす関係式を求めよ。 CHART SOLUTION 解答 平面αの法線ベクトルを n = (a,b,c)(n=①) とする。 ここで AB=(2, 2, 2), AČ=(2, 4, 0) さ n.AB=0 3点 A,B,Cが定める平面α上にある点P(x,y,z) ①点A(a) を通り,nに垂直 n.p-d= ② OP = SOA+tOB+uOC,s+t+u=1 を満たす 平面αに垂直なベクトル (法線ベクトル) AAC から求められる。 このに対し、AP=0 から x,y,zの関係式を求める (1の方針)。 別解は2の方針。 s, t, u を x,y,zで表し, s+t+u=1に代入する。 LAB であるから よって TEL AC であるから ゆえに 2α+46=0 a=-26 ②から よって n = 0 であるから, 6=1 として 2a+2b+2c=0 したがって ...... n.AC=0 ...... 2 これと①から n=6(-2,1,1) どこからきた? 64) ① |_c=b 1, 1)……(*) n=(-2, n•AP=0 点Pは平面上にあるから 200 AP= (x-1,y- (-1), z-0)=(x-1, y+1, z) であるから -2x(x-1)+1×(y+1)+1×z = 0. 2x-y-z-3=0 p.438 基本事項 4,基本 60 SEKS TAAHO 1の方針。 んを成分表示する。 n A B inf. 一般に,平面に垂直 な直線をその平面の法線 といい, 平面に垂直なベク トルをその平面の法線ベ RAJ クトルという。 (*) において, n = 0 であ れば,bはどの値でもよい。 一般に、1つの平面の法線 ベクトルは無料に C (1

どうしてこの問題最初に判別式を使うことが出来ないんですか？(α^2を消去しないと出来ないのは何故ですか？)わかる方教えて下さい（ ; ; ）

2つの2次方程式 2x2+kx+4=0, x2+x+k=0 がただ1つの共通の実数 解をもつように、 定数kの値を定め, その共通解を求めよ。 |基本 75 CHARTO SOLUTION 方程式の解 x=α が解⇔ x=α を代入して方程式が成り立つ 2つの方程式の共通解を x=α とすると, それぞれの式にx=α を代入した 2a²+ka+4=0,α2+α+k=0 が成り立つ。これをα, kについての連立方程式 とみて解く。 実数解という条件に注意。 解答 共通解を x =α とすると 2a²+ka+4=0 ①-② ×2 から (k-2)α+4-2k=0 すなわち (k-2)a-2(k-2)=0 よって ゆえに [1] k=2 のとき 2つの方程式は, ともに x2+x+2=0 となる。 その判別式をDとすると .. 1, a²+a+k=0 (k-2)(a-2)=0 k=2 または α=2 D=12-4・1・2=-7 D<0 であり,実数解をもたないから, k = 2 は適さない。 [2] α=2 のとき ②から 22+2+k=0 このとき2つの方程式は 2x2-6x+4=0 ゆえに-6 ..1', x2+x6=0 ②' の解はx=2, -3 となり,①'の解はx=1, 2 よって,確かにただ1つの共通解 x=2をもつ。 [1], [2] から k=-6, 共通解はx=2 ◆x = α を代入した①と ②の連立方程式を解く。 ◆ α² の項を消す。 ◆共通の実数解が存在する ための必要条件であるか ら、逆を調べ十分条件で あることを確かめる。 ←ax²+bx+c=0 の判別 式はD=62-4ac 2(x-1)(x-2)=0, () (x-2)(x+3)=0 INFORMATION この例題の場合、連立方程式 ①,②を解くために,次数を下げる方針でα の項を消 去したが, この方針がいつも最も有効とは限らない。 下の PRACTICE 79 の場合は、 定数項を消去する方針の方が有効である。 3章 2次方程式

赤線部分がわかりません。 解説よろしくお願いいたします。

135 三角関数の最大・最小(2) 基本例題 次の関数の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの1の値を求めよ。 00000 y=sin0+√3 cos (050<27) (2) y=sino-cos0 (r≤0<2x) 基本 133,134 SOLUTION asino とbcose を含む式 合成が有効 ････! 左辺をrsin (0+α) の形に変形して考える。 +αのとりうる範囲に注意して, sin (x+α) のとりうる範囲を求める。 CHART O 解答 (1) y=sin0+√3 cos0=2sin (04/12 (1) 0≦0 <2πのとき よって, sin0+ ゆえに sin ( 0 +/-) がとる値の範囲は 1sin0+7 1であるから2≦ys2 9+73737= 十匹 Smia=60+= 2 3 3 2 ≦0<2πのとき 3 したがって π7 ≤0+ < 3/7 0- (2) y=sin0-cos0=√2 sin0- sin (0-1) 379 九 4 450-4<7^ よって, sin (9-x) がとる値の範囲は -1≤sin(0-4)=√2 -√2 ≤y≤1 3 0- 2012 すなわち π 3 4 2 すなわち 0= 0=2で最大値2 6 01 32 すなわち 6/7/2πで最小値 -2 1 ON π 4 √2 7) (-²) ₁05+)+aiz x y₁₁ x (1, -1) OA AR で最大値1 すなわち 0=7 で最小値-√/2 ◆sin で合成。 x ← 1周するので -15sin(0+1)≤1 ◆ sin で合成。 205 2.0 -0200+ miz=y (C) ← 1周しないため -1≤sin(0-4)=1 とならないので注意。