Bを複素数とし, αキ0とするとき。次のことを証明せよ。
Bが実数一→ 8=ka となる実数kがある
*10 複素数 aが, 2z+z=3+iを満たす。
12 12|=3かつl2+2|=4を満たす複素数zについて, 次の値を求めよ。
(1) 22
(2) +z
*13 複素数 α, Bについて, lal=|8|31, α+B+1=0のとき, α’2+18°=-1である
ことを示せ。
*14 複素数 a, zについて, la-al=l1-@z|であるとき, |2|の値を求めよ。大
し,lalキ1 とする。
10> 2z+z=3+iより, る, āの連立方程式を解く。(別解)z=a+bi (a, bは実数)と
11>「zが実数 → ミ=ス」 を利用する。
13>例題2参照。 α+8+130 すなわちα+B+1=0も利用する。
ヒント
&p= ap aないのですかか?
したがって
2=I+
両辺を展開すると
22-α2-αZ+αα=1-αz-αz+aaz;
12n-I(2n - =(n-z Y0-2)
11 aBが実数のとき
aB=aB
ーの て
式を整理すると
|2|°+\a?=1+\@{}ap
(1-la\2°=1-|af?
すなわち
αキ0, αキ0 から, 両辺を αaで割ると
よって
E-2 (=
22-1-la/2
=1
すなわち
la キ1より
α
α
α
α
1-la?
|2|=1
よって,
α
は実数であるから,
a
B-kすなわち
したがって
8=kaとなる実数をがある。
逆に,8=ka となる実数をがあるとき, αキ0か
15 与えられた複素数の絶対値をrとする。
(1) ア=V(-1)°+1° = 2
P-k
ら
α
COs0 = --
sine
V2
V2
よって,
は実数であるから
α
0<0<2x では
0=
-2 すなわち
α
3
4+1Sin-
α
よって
-1+i=V2(cos
α
α
両辺にaa を掛けると
aB=as
(2) ア=V(-3)?+(-V3))%3D12 %=D2(3
ap=ap
したがって, aBは実数である。
すなわち
-3
cos0 =
V3
2
三
2,3
