数学3 円の極方程式 画像1枚目の(2)で、円上の任意の点を点P(r,θ)と置くと思うのですが、画像1枚目の図の位置ではなく、画像2枚目の図の位置に点Pを置くと答えが合いません。 ( r²-4rcos(π/3 - θ)+3=0になってしまいます。 ) 何故ですか？解説よ... 続きを読む

例題37 円の極方程式 例題 38 次の極方程 π (1) 点C(2, )を中心とし, 極0を通る円の極方程式を求めよ。 (2) 点C(2. を中心とし,半径が1の円の極方程式を求めよ。 3 π P(r,0) 極方程式の P(r,0) 段階的に 図で考える C C I. 極方科 円上の点をP(r, 0)とおき, 《@Ac 図からrと0の関係式を導く。 極方程式 X Tπ Mo3 0 0 II. Iの方 Action》 円の極方程式は, 極·中心·円上の点を結んだ三角形を考えよ 解(1) ア= よって 解(1) 円の直径OAを考えると, 点Aの極 e 両辺を A4 ) 座標は AP(r,0) C 例題 35 r=x 円上の点Pの極座標を(r, @) とすると より,△APO において 2 4OA が円の直径であるから ゆえに ZAPO = 0 X ケ ZAPO = これは OP = OAcosZAOP を表す DA 1 元 r= 4cos -0)より r= 4sin0 ZAOP= 0 であり 2 である P(r,の cos -0=cos( -0 焦点と (2) 円上の点Pの極座標を(r, θ) とする と,△OCP において,余弦定理により CP = 0C°+ Op-20C·OPcosZPOC 2,5) COS 0 = cos 1 r= ZPOC= |0- 3 であり よって 1° = 2°+パー2-2rcos(0- 3 ncos 0- 3 a oohnis 両辺を よって アーrco0-) +3=0 例題 4r cos(0 0 r= (eX as 35 Baie (別解) 直交座標で考えると,点C(1, /3)を中心とする半径 ゆえ 1の円の方程式は これい 例題 =1 O+yー2x-2/3y+3=0 x=rcos6, y=rsin0, x°+ y° =rを代入すると 31 楕円 この p-2rcos0-2/3rsin0+3= 0 (土 p-4r 1 cosO+ V3 sin0+3 =0 2 以上 よってアーroa(0-号)+3=0 を表 +3= 0 検習37 中心Cの極座標が(2, 86 「としてもよい。 で極0を通る円の極方程式を求めよ。 T 練習38 → p.94 問題37 S 思考のプロセス| 思考のブロセス

【二重積分-極座標】(2)の問題となります。まず問題に対する模範回答として示された青文字ですが、1行目の式から違和感を感じます。 　次に、この問題は面積を求めてるわけですから正の値が出ると考えています。ですがときあげた結果は負の値が出てきました。 　どこがどうおかしいのでし... 続きを読む

D=f(oL4))138 +54巻0,20 obecdly- ralrdeとする (2 2y2 dscdy rcose. n8ine, T ロ0080re rdrale 2 H4co80sm°o dradle. 12 COsO Sine drde: 4 2 PTL (Sin3) 3 Sio(Sne) = 38imOc0 ち 31 c990Sin°ode Esme [ge こ 3 5 81 )5 31 15 |e L。 リ

【二重積分-極座標】　教員からの解説に疑問点が多く、特に青文字1行目が腑に落ちません。 この問題は面積を算出する問題と思われるため、答えは正の値を取るべきと思いますが、私の解いた限りでは負の値になりました。 　どこがおかしく、どう直せば良いのでしょうか？

、極座を囲いて、 次の 2種積分の値を求めよ D =n coSO, 4rSmg とおと、drdy= rdede 6zdedy y Psine dr de -Tπ+ -6P Sme de dr WAar 2 2TL 0 鳥ード(エ4)d 12 -2edr. 0 16 3

数Ⅲ極座標、極方程式について、 問題にそこまで深く関係はしないのですが、 ここでのeというのはネイピア数ですか？ 離心率もeと表しているため、ここは何？と思ったため質問しました。

や設? 離いネ? ①O○ 148 9/24 基本 例題842次曲線の極方程式 a, eを正の定数,点A の極座標を(a. 0) とし、 Aを通り始線 OX に垂直な直線 をしとする。点Pから!に下ろした垂線を PH とするとき, OP であるよう PH な点Pの軌跡の極方程式を求めよ。ただし,極をOとする。 基本81,83 0 指針> 点Pの極座標を(r, 0)とする。点Pが直線の右側にある場合と左側にある場合に分け

-iなので角度3/2πになると思ったのですがなぜπ/2なのでしょうか??

形であり こから△ABCの 3' 状を求めることもできる [(2)でも同じように考えて よい]。 α-y=(y-B)i ーA (2) a+i8=(1+i)yから α-Y--i B-Y (a=-i(B-y)+r よって le-yl_ 18-y| CB る ( do =1 CA SAa) α-Y B-Y T 4 よって CA=CB ア こ T また。 Q-Y B-Y は純虚数であるから CAICB+)x1 304 π ゆえに,△ABC は CA=CB の直角二等辺三角形であるか B(B) C(y) ZA= 2B=, 2C=( (0)A| = 8 ら 4

答えはsinで表してるんですけど、cosで表すやり方を知りたいです！至急お願いしたいです。

(神奈川大) 成標平面を考え,その原点をOとする。直線 y=1 上に点Pをとり,点Qを AOPQが正三角形となるように定める。ただし, △OPQの頂点 0, P, Qは この順で時計回りに並んでいるものとする。 (1) 点Pが直線 y=1 上を動くとき,点Qの軌跡を極方程式で表せ。 (2)(1)で求めた極方程式を直交座標についての方程式で表せ。 (16 愛知教育大)

29（1）についてです rとcosθがこのように表せるのは分かるんですが、これでなぜ題意を示せているんですか？

27 正の定数aについて, 極座標で表された円 r=4cos0 と直線 -a とが アニ 共有点をもたないようなaの値の範囲を求めよ。 cos 0 【神奈川大) 28 座標平面を考え,その原点をOとする。 直線 y=1 上に点Pをとり, 点Qを AOPQ が正三角形となるように定める。ただし, △OPQの頂点O, P, Qは この順で時計回りに並んでいるものとする。 (1) 点Pが直線 y=1 上を動くとき, 点Qの軌跡を極方程式で表せ。 (2)(1)で求めた極方程式を直交座標についての方程式で表せ。 (16 愛知教育大) Clear 29 双曲線 x-y"=2 の第4象限の部分をCとし, 点(/2.0)を A, 原点をOと する。曲線C上の点Qにおける接線《と, 点Oを通り接線2に垂直な直線と の交点をPとする。 [14 静岡大) (1) 点Qが曲線C上を動くとき, 点Pの軌跡は, 点Oを極とする極方程式 y2=2cos20 =2cos20 (r>0. 0<0<互) で表されることを示せ。 (2)(1)のとき, △OAP の面積を最大にする点Pの直交座標を求めよ。 x? ,2 30 座標平面上の格円 +=1 (a>b>0)について, 次の問いに答えよ。 ;=1 (a>b>0) について, 次の問いに答えよ。 a? 62 (1) ×座標が小さい方の焦点Fを極とし, Fからx軸の正の方向へ向かう半面 線を始線とする極座標 (r, 0)で表された楕円の極方程式 r=f(0) を求。 よ。 (2) 座標平面上の原点O(0, 0) と楕円上の2点P. P:について, 線分 OP, 線分 OP, とが互いに直交する位置にあるとする。 線分 OP, および OP;( 1 2 Y2 1 値は定数となることを示ー 長さをそれぞれれ. raとするとき, 一+の 2 [11 九州方

印のついているところで、なぜαバーにするとーθ回転したことになるのでしょうか？ よろしくお願いします

直線に関する点の対称移動 例題 3 複素数平面上で, 0 を表す点を 0, α=cos0+isin0の表す点をA とする。点々を直線 OA に関して対称移動した点を wとするとき, wをαとえで表せ。 考え方 点zを次の順で移動すればよい。 原点を中心として -0だけ回転(直線 OA が実軸に重なる) 実軸に関して対称移動(共役な複素数をとる) 原点を中心として0だけ回転(直線 OA がもとの位置に戻る) ラ Cos(-0)+isin(-0) であるから, 点zを原点を 中心として -0だけ回転した点を表す複素数は -をす36、 2) 3 A. *W YA Qz az を実軸に関して対称移動した点を表す複素数は A(a) W az すなわち QZ 点 w は, 点 az を原点を中心として目だけ回転した 点であるから w=e(az)=«'z 0 0 X N。

物性物理学の本を読んでいて、質問があります。 本では， 量子力学による1電子原子の電子状態の記述について 添付のように述べていて， (1.12)式までは良いのですが， 赤枠で囲ったところの式(1.13)の導出過程が知りたいです。 よろしくお願いいたします。

$1.2 1電子原子の電子状態 1 p° = 2me 2 a 1 V= 2m。 2m。(r+ r dr 原子においては,原子核を中心としてそのまわりの半径10-10m程度の領 の形となる。ここでAは次のような角度に関する微分演算子である。* 域を電子が運動している。原子の構造を理解するためには,この電子の振舞 1 sin 0 d0 1 を調べなくてはならない。まず最も単純な場合として,Ze の正電荷をもった A= - (sin 0 sin' 0 核のまわりを,1個の電子が運動している場合を考える。Z=1であればこ 1電子原子のハミルトニアンがこのように具体的に与えられた.このハミル れは水素原子そのものであり,Z =2であれば He* イオンということにな トニアンに対するシュレーディンガー方程式(1.9) は2階の微分方程式の形 る。 をしている。これを満たす解として波動関数T(r, 0, φ) が求まれば,1電 原子の質量のほとんどは核に集中しているので、そこを重心として座標の 子原子における電子の分布の様子がわかる。ところで,原子に属する電子の 原点にとってさしつかえなかろう。電子は -e の電荷をもち,核の正電荷 波動関数は,核から十分遠方(r→0)ではゼロに収束するはずである。こ Ze とクーロン相互作用をもつ。そのポテンシャルエネルギーは電子と核の のような境界条件の下で(1.9)式を考えると,電子のエネルギー固有値 E が 間の距離rに反比例し, 離散的な特定の値をとるときのみ解が存在する。これは量子力学系の顕著な Ze? V(r) = - 特徴である。 4TE0ア 最も低いエネルギー固有値を与える解は球対称で、次の形をしている。 である。* これは万有引力と同じ形をもつので,古典的に考えれば,地球が 17Z/2 ( exp(-) 太陽のまわりを回るように電子は核のまわりを楕円軌道を描いて回ると考え 『(r) = たくなる。しかしながら,このような極微の世界まで古典ニュートン力学が ただし,ここで そのまま成立するわけではない,電子の振舞を正しく理解することは,今世 4TEh An = mee? =0.529 A 紀初頭登場した量子力学をもってはじめて可能となった。量子力学によると, 電子の存在確率は波動関数 『(r)の絶対値の2乗に比例する。定常状態では 『(r)は次のシュレーディンガー方程式を満たすというのが量子力学の骨子 はボーア半径とよばれる。 である。 H V (r) = ET (r) ここで はハミルトニアンで,電子の運動エネルギーとポテンシャルエネ ルギーの和であり, 1 p°+ V(r) 2m。 H = の形をもつ。** 第2項のポテンシャル項は方向によらず,核からの距離のみ に依存するので,全体を極座標を用いて表した方が都合がよい。このとき, 第1項の運動エネルギーの部分は Eo = 8.8542 × 10-12 F/m は真空の誘電率。 m。は電子の質量,p= - iAVは運動量オペレータである。ただし,▽はナプラと読 み,直交座標系では 定,立,えを直交する単位ペクトルとして、V= -+ の形をもつ微分演算子である。カ = h= 6.626× 10-4JSはプランク定数。

重積分の(多分初歩的な)問題です。途中式含む解説お願いします

N 15. f(p.9) = と{- (prk +9)}を、p.qについて偏微分しなさい。 に! 16. 次の積分を計算しなさい。 2 D= {(r.) e R?? +ザ<R.ッ>0}のとき、 P+ザdrdy +ydrday ただし、2次の極座標変換r-rcos0.y = rsin0でのヤコビアンがrであることは 用いてよい。