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38 平面上の点の存在範囲 (2)
基本例題
「△OAB において,次の式を満たす点Pの存在範囲を求めよ。
(2)
op=sOA+
OP=sOA+tOB,
+tOB, 0≤s+t≤, s≥0, t≥0
1≦s≦2, 0≦t≦1
CHART
OLUTION
OP=sOA+tOBである点Pの存在範囲
0≦stt≦k を変形して≦1を導く
まずsを固定して, tを動かす
p.389,390 基本事項 ②. 基本 37
(1) 条件より, 0≦3s+3t≦1であるから, OP=3s (1/30A)+3t (1/3 OB) とし,
OP=s'OA'+t'OB', 0≤s'+t'≤l, s'≥0, t'≥0 OÆK‡3.
(2) sとtは互いに無関係に動く。そこで,まずsを固定してt を動かすとよい。
0≦3s +3t≦1
(1) 0≤s+t≤ ³5
3
また
ここで, 3s=s', 3t=t とおくと
=S
OP=sOA+fOB=3s(Ox)+321/OB) パラ
3t
OP=s(OA)+1(OB), oss'+t'≤1, s'20, 1'20
+t'
よって 1/2OA=DA 1/2OBOB' となる点A', B'をとる
=
重要 43
P
the figh
tOB
SOA
A A D
OP=OOA' + OB
0≤0+A≤1, O≥0, U
A≥0
この形を意識して変形する。
0
A" p
4-
395
'B'
1章
A
B
◆sとtは無関係に動く。
そこで まずsを固定し
tを動かし, Pの動く
範囲 (線分 A'C') を考え
る。 次に, sを動かすと
どうなるかを考える。
と、点Pの存在範囲は △OA'B' の周および内部である。
(2) sを固定して, OA' =SOA とす
B
C C'E
ると
OP=OA'+tOB
ここで,tを 0≦t≦1の範囲で変化
させると, 点Pは右の図の線分A'C' 0
上を動く。
ただし,OC=OA'+OB である。
次に,sを 1≦s≦2の範囲で変化させると,線分 A'C' は図の線分 AC から DE まで
平行に動く。ただし,OC=OA+OB, OD=20A, OE=OD+OB である。
5
ベクトル方程式
よって, OA+OBOC, 20A OD, 20A+OB = OF となる点C,D,Eをとると､
点Pの存在範囲は平行四辺形ADEC の周および内部である。
PRACTICE・・・ 38 ③ △OAB において、 次の式を満たす点Pの存在範囲を求めよ。
(1) OP=SOA+tOB, 0≤s+t≤4, s≥0, t≥0
(2) OP=SOA+tOB, 2≤s≤3, 0≤t≤2
