蛍光ペンで引いている部分の導き出し方が分かりません。

本 39 直径の ル方 0 -5), 整理す 2=25 点。 =0 PoP 43 平面上の点の存在範囲(3) 重要 例題 OPsO+fOB, 1≦s+t≦3, s≧0, t≧0 △OAB において,次の式を満たす点Pの存在範囲を求めよ。 OP (s+t)OA+tOB, 0≤s≤1, 0≤t≤l (2) CHARTI Ip.389,390 基本事項 ②. 基本 38 SOLUTION 基本例題 38 と似た問題であるが, 条件式が少し異なる。 (1) s+t=k とおくと、1≦k≦3 となる。p.389,390 基本事項 ②② と同様に, を固定して考えてみよう。 S t OP=1/2(OA)+1/28(kOB)、1/12≧0.1/12≧0.1/12/1/2=1であるから,これは線 分を表す。 次に、1≦k≦3の範囲でんを動かして,線分の動きをみる。 (2) 条件式をs,tについて整理すると OP=sOA+t(0A0B), 0≦x≦1,0≦t≦1 OA+OB = OC とおけば, 基本事項 p.389 3902③ のタイプとなる。 S t (1) s+t=k として固定する。このとき, + -=1 である k k 1≤k≤3 S t k から,kOA=OA′,kOBOB', 1/2=s', //=とすると OP=s'OA'+f'OB′, s'+f'=1, s'≧0, t′≧0 k よって, 点Pは線分A'B'上を動く。 次に, 1≦k≦3の範囲でkを変化させると, 線分A'B' は図 の線分AB から CD まで平行に動く。 ただし,OC=30A, OD = 30B である。 STAR よって, 30A = OC, 30B = OD となる点 C D をとると,点 Pの存在範囲は台形 ACDB の周および内部である。 (2) OP=SOA+t(OA+OB) 2006-0 ← ▪OP=(kOA)+(kOB) [3+3|-|(6+3) 2 OA+OBOC とすると OP= SOA+tOC, 0≦s≦1,0≦t≦1 よって, OA+OBOC, 20A + OB=OD となる点CDを とると,点Pの存在範囲は平行四辺形OADC の周および内 部である。 =MAB --+ B D kOB P kOA SOA 士一 401 Voc tỌC [PRACTICE.‥. 43 ④ △OAB において,次の式を満たす点Pの存在範囲を求めよ。 (1) OP=SOA+tOB, 1≤s+2t≤2, s≥0, t≥0 (2) OP=SOA+(s-t)OB, 0≤s≤l, 0≤t≤1 1章 5 ベクトル方程式

yで降べきの順にして因数分解して欲しいです🙏 答えは(x-y)(y-z)(z-x) です

(2))x(y²-z²)+y(z²-x²)+ z(x² - y²) CHARTO SOLUTION 2974** Fff

図の赤色の方程式の求め方なのですが、共通点(接してますが)が2個あるのに、判別式Dで求められるのは何故ですか？？

ME EN AUGE 重要 例題 96 放物 放物線 y=-x2+αと円x2+y²=16 について,次のものを求め 1 (1) この放物線と円が接するときの定数aの値 (2) 4個の共有点をもつような定数αの値の範囲の円 要 立 CHARTO SOLUTION 放物線と円 解答 (1) y=x²+a ³5 x²=4(y-a) から ただし, x2≧0であるから y≧a ② ①をx2+y²=16 に代入して 4(y-a)+y2=16 よって y2+4y-4a-16=0.③ [1] 放物線と円が2点で接する場合 共有点実数解 接点 重解・・･･・･ この問題では、xを消去して, yの2次方程式 4(y-a)+y²=16 の実数解, 重解を考える。 なお、放物線と円が接するとは,円と放物線が共通の接線 をもつときで、この問題の場合、 右の図から, 2点で接する 場合と1点で接する場合がある。 2次方程式③は重解をもつ。 ③の判別式をDとすると man ・① よって 求める定数αの値の範囲は 10 A yoFLA D=22-(-4a-16)=4a+20 放物線y=x2 円 MOITUIO 4 0 a=-4 市の 4 D = 0 から a=-5 このとき、③の重解はy=-2 であるから②に適する。 [2] 放物線と円が1点で接する場合 18 JJS = を求め 5 -50 a=-58-0 x²+|- 整理して x²(x この4次 HAF a=±4 x=0を で接して 同様に, 図から,点(0, 4), (0, -4) で接する場合で について [1], [2] から 求めるαの値は a=±4, -5 と入 (2) 放物線と円が4個の共有点をもつのは,上の図から、放物 x4. 線の頂点が,点(0, -5) と点 (0, -4) を結ぶ線分上(端点を すなわ 除く)にあるときである。 から, - 5 <a<-4 をもつ (24)を中心とする円が内接して inf. a=40 2+4y-32 すなわち(y から,y=4 で重解をもた しかし, y: x 連立方程式 ると

カメラが壊れているので黒い点が目立ちますが気にしないでください。 黄色チャート例題80の問題なのですが 問題の解法や流れなどはおおよそ分かったのですが緑のペンで引いた範囲の最も左の 2より大きい という範囲がどこから出てくるのかだけがわかりません。 良ければ教えてください。

+m+3=0 が実数解をも -5- 0 がただ1つの実 場合と m+10 コキ 2 26'型であるかと D-b-act 4 m=2 かつ 判別式が使えるの 2次方程式のとき 大阪 2次方程式が重 つ場合である。 本 80 2 次方程式の応用 右の図のように、 BC=20cm. AB-AC, ∠A-90 の三角形ABCがある。 辺AB, AC 上に AD-AE となるように2点D, Eをとり、 D, Eから辺BCに 線を引き、その交点をそれぞれFG とする。 長方形 DFGE の面積が20cm² となるとき、辺FG の長さを求めよ。 HART & SOLUTION 文章題の解法 ① 等しい関係の式で表しやすいように、 変数を選ぶ (2) 解が問題の条件に適するかどうかを吟味 FG=x として, 長方形 DFGE の面積をxで表す。 そして、 面積の式を20 とおいた. xの2次方程式を解く。 最後に 求めたxの値が xのとりうる値の条件を満たすかどうか 忘れずに確認する。 解答 FG=xとすると, 0 <FG<BC であるから 0<x<20 また, DF=BF=CG であるから 2DF=BC-FG DF=- 20-x 2 長方形 DFGE の面積は よって 20-x 2 ゆえに 整理すると これを解いて x=20 B =10±2√15 ここで, 02/15<8から DF・FG=- D. 20-x 2 x2-20x+40=0 x=-(-10)±√(10) -1.40 F よって この解はいずれも ① を満たす。 したがって FG=10±2√/15(cm) 10-8<10-2√15 <20, 2<10+2/15 <10+8 基本 66 E 135 xの係数が偶数 → 26' 型 3 定義域 ∠B=∠C=45° である ら、BDF, CEG も直 角二等辺三角形。 ◆解の吟味。 9 2次方程式 0<2√15=√60 <√64=8 単位をつけ忘れないよう PRACTICE 80② 連続した3つの自然数のうち、最小のものの平方が、他の2数の和に等しい。 この3 数を求めよ｡

別解で、波線引いたαn＋3はどこから出てきたんですか？

例題 117 連立漸化式 列{an},{bn}が次のように定められるとき,次の問いに答えよ。 α=4,b=1, an+1=3an+bm 数列{an+bn}, {an-bn}の一般項を求めよ。 数列{an},{bn}の一般項を求めよ。 CHART OLUTION 数列{an}, {bn}の連立漸化式 2 ………... PRACTICE ‥.①, bn+1=an+3bn....... ② an+1+abn+1=β(an+αb) を導く ・・・・・･! an (またはbm) だけの漸化式を導く 別解 ① から これら②から よって 解答 口 (1) ① +② から an+1+bn+1=4(an+bn) から 数列{an+bn}は,初項 α+b=5,公比4の等比数列である an+bn=5.4-1 ④から ← ① ② から an+1-bn+1=2(an-bn) から 数列{an-bn}は,初項 α-b1=3,公比2の等比数列である an-bn=3.2n-1 隣接3項間の漸化式となる。 an (2) (1)からa=12/12(5.41+3.2 -1, 6n=1/12(5.4" bn=an+1-3an, bn+1=an+2-3an+1 an+2-3an+1=an+3(an+1-3an) an+2-6an+1+8an=0 これを変形すると an+2-2an+1=4 (an+1-2an) an+2-4an+1=2(an+1-4an) 数列{an+1-2an}は,初項a2-2a1=(3a+b1)-2a1=5, 公 比4の等比数列であるから an+1-2an=5.4-1 ・③ 数列{an+1-4an}は,初項a2-4a1=(3a+bì)-4a=-3, 公比2の等比数列であるから an+1-4am=-3.2-1 4 an=(5-4-¹+3.2²-1) ゆえに, ① から bn=an+1-3an = 1/12 (5.4"-1-3.2"-1) 4-1-3.2"-1) inf. an+tab =(an+abm)と変 ると、数列{ant ob 比数列になる。 ①②から an+1+abn+1 =(3a+bml)+clart1. =(3+α) am+(1+301_ B=3+α, a6=1+30 (3+α)=1+30 よって α=±1 ゆえに,数列{ax+bd {bn}は等比数列 る。 inf. CHART & SOLUTION の口につ て。 まず 連立漸化式 辺の和差を求めよう の形を導けることがあ ■an+1を消去する。 117⑨ 次の関係式で定まる?つの数列{an}と{bn}がある。

下線部の部分の│Ｃベクトル│≧0であるから、この時│Ｃベクトル│も最小となるというところが分かりません💦 教えてください🙇‍♀️

350 00000 基本例題 10 =(2,1), =(-4, 3) がある。 実数t を変化させるとき, c=a+坊 きさの最小値と, そのときのtの値を求めよ。 CHART SOLUTION ⓒ la + to | の最小値 at 2 の最小値を考える･････図 la + to |≧0であるから,次のことが成り立つ。 解答 ベクトルの大きさの最小値 (成分) よって c=a+t=(2,1)+t(-4,3)=(2-4t, 1+3t) Ic=(2-4t)^2+(1+3t)2 =25t²-10t+5 = 25(t-1)²+4 t=1/23 のとき最小 は ~BOR 2余 at が最小となるとき, a+t6 | も最小となる このことを利用して,まず, la + to (t の2次式) の最小値を求める 2次式の最小値→2次式を平方完成して基本形に変形 (1-0 8- ゆえに 値4をとる。 C≧0であるからこのときも最小となる。 ↑ O 5. p.345 基本事項1 最小 5 t の大 [類 関東学院大] 基本19.50 ◆2次式は基本形へ 25t2-10t+5 = +5 -25/(1-1-317- ◆この断りは重要。 したがっては t=1/23 のとき 最小値 √4 =2 をとる。 注意 ベクトルの大きさの最小値を求める問題は基本例題19でも学ぶ。土)池優の眼

動摩擦に関する問題です、最後の1個手前の式は分かるんですけどなぜ最後この形になるのですか?

(3) [5 pts] 地上の実験室で水平で摩擦のある机の上に質量mの物体をおいた. ここでmと机との動摩擦 係数をμ' とする. 次に図のように,糸と滑車を利用し、質量Mの物体と結びつけた. このあと, 物体 M を静かに手放すと､この二つの物体は同時に動き出した. 物体mは常に机の上にあり, 滑車までの糸は 水平, M も机に触れることなく鉛直に落下した. 物体が動いているときに働く内力の大きさを求めよ。 こ こで重力加速度の大きさは 」 とする. Solution: 物体間に働く (内力である) 張力の大きさを T, m に働く動摩擦力の大きさをf' JMa=W+(-T) ma =T +(-f') W-f' M-μ'm M + m M+m T=ma+f' =ma+μ'mg=m(a+μ'′g) =m( -g+μ'g)=mg( (M+a)=W-f' M-μ'm M+m (1+μ'^) a = mM M + m 9 = M-μ'm M+m + μ²)

蛍光ペンで引いている部分なのですが、例題の問題とpracticeの問題とどちらも係数は正なのに例題の方には＝がないのはなぜですか。

366 0000 t 重要 例題 21 ベクトルの大きさと絶対不等式 |||=1,|8|=2, 2 とするとき, ka+t6|>1 がすべての美数に して成り立つような実数kの値の範囲を求めよ。 CHART SOLUTION として扱う k+161 は ka+t6 > 12 ...... ① と同値である。①を計算して整理する と (tについての2次式)>0 の形になる。 この式に対し, 数学Ⅰで学習した次のことを利用し,kの値の範囲を求める。 の2次不等式 at + bt+c>0 がすべての実数tについて成り立つ ⇔ a>0かつb-4ac < 0 解 ka + to ≧0であるから, ka+t >1 は |ka+t >1 ①と同値である。 |kã+tb|²=k²|a|²+2ktā·b+t²|b|² ここで ||=1,||=2=√2であるから |ka+tb|²=k²+2√/2 kt +4t² k²+2√√√2 kt +4t²>1 ここで よって したがって よって, ① から すなわち 4t2+2√2kt+k²-1>0 ...... (2) ② がすべての実数tに対して成り立つための条件は2次 方程式 412+2√2kt+k²-1=0 の判別式をDとするとの 係数は正であるから D<0 D=(√2k)²-4×(k²-1)=-2k²+4 -2k² +4<0 ゆえに k<-√2,√2<k k²-2>0 INFORMATION 上の CHART & SOLUTION で扱った絶対不等式は,関数 y=ate+bt+c のグラフが常に「t軸より上側」にある, と して考えるとわかりやすい。 A> 0, B>0 のとき A>BA¹>B² 問題の不等式の条件に ② がすべての実数 対して成り立つこと。 ◆D< 0 が条件。 ←(k+√2)(k-√2) 0 y=a+b+ [a>0b>b²-4ac0 PRACTICE･･・･ 21④ |a|=2,|6|=1,|a-6|=√3 とするとき, ka + to z2 がすべての実数に対し り立つような実数kの値の範囲を求めよ。

(2)で、10Aを5進数で表すと一の位が0になるのは分かったんですけど、何でそこから、求める数字が9を5進数で表したときの一の位の数字になるのかが分かりません

重要 例題 131 N" の一の位の数 (1) 182020を10進法で表すとき,一の位の数字を求めよ。 (2) 17185進法で表すとき, 一の位の数字を求めよ。 CHARTO SOLUTION N” (N, nは自然数) の一の位の数 一の位の数字のサイクルを見つける ・・・・・・! (1) 18 の一の位の数字8に着目して 8×8=64 から 182 の一の位の数字は 4 更に 4×8=32, 2×8 = 16, 6×8=48 よって, 18" の一の位の数字は8, 4 2 6 の繰り返しにな (21)と同様に考えて, まず 1718 を10進法で表したときの る。 それをaとすると 1718=10A+α (Aは正の整数)と 進法で表すと一の位の数字は0であるから, αを5進法て の数字が求める数字になる。 解答 (1) 8×8=64,4×8=32, 2×8=16, 6×8=48 であるから, 18” を10進法で表したときの一の位の数字は,4つの数 8, 4, 2, 6 の繰り返しとなる。 ここで 2020=4･505 であるから, 182020 の一の位の数字は 6 である。 (2) 7×7=49,9×7=63, 3×7=21, 1×7=7 であるから, 17" を10進法で表したときの一の位の数字は,4つの数 7, 9, 3, 1の繰り返しとなる。 ここで 18=4•4+2 であるから, 1718 を10進法で表したとき の一の位の数字は9である。 このとき 171810A +9 (Aは正の整数)と表され, 10A を 5 進法で表すと, 一の位の数字は0である。 したがって 求める数字は9を5進法で表したときの一の位 の数字であるから, 95' +4 により 4

chart&Solutionの所の(1)のθの値に対して適当に選ぶ 、とはどういうことでしょうか？ 選び方を教えていただきたいです。 よろしくお願いします！

基 本 例題 113 三角関数の値 (1) 0が次の値のとき, sine, cose, tanの値を求めよ。 (1) 2013 (解 CHART SOLUTION 三角関数の値 [1] 角 6 の動径 OP=r を, 0 の値に対して適当に選ぶ。 ......! 答) 8 π [2] 原点を中心とする半径rの円をかく。 [3] 動径と円の交点Pの座標 (x, y) を求める。 よって (1) ²n=2x+²/3 n π 9 ① 右の図で円の半径がr=2のとき, 点Pの座標は (-1,√3) (1) r2 (2)r=√2 とするとよい。 よって 三角関数の値は右の式で定義される。 10 sin COS 8√3 π = 3 8 COS -π=- 3 2 -1 2 8 √3 tan -π= 3 -1 == (2) -2=-2-4 ① 右の図で円の半径がr=√2 のと 点Pの座標は (1, -1) == ( - ² ) = √/ ₁2 9 -1 √√3 sin (-²/ 7) = √2/² = -√2 4 9 (2) - 2/7 -π P(-1,√3) -2 √√2 YA -2 FT MBO YA -2/" 4 <-√2 sino=22, cosp=tano=" M 2 v2 I 2 √2 x P(1, -1) S 00000 2は,反時計回りの1 2 回転,更に+1/3回転 p.175 基本事項 AMEEKONK³ √3 030° 16 45° 2 1 r=2, x=-1, y=√3 を定義の式に代入。 00 r= √2, 60° (1) 2は時計回りの1回 転,更に一回転。 1 45° x=1, y=-1