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重要 例題 68 定義域によって式が異なる関数 (2)
関数 f(x) (0≦x≦4) を右のように定義すると
き,次の関数のグラフをかけ。
(1) y=f(x)
指針▷定義域によって式が変わる関数では,変わる境目のx,yの値に着目。
(2) f(f(x)) f(x)のxにf(x) を代入した式で,
0≦f(x)<2のとき 2f(x), 2≦f(x)≦4のとき 8-2(x)
(1) のグラフにおいて, 0≦f(x)<2となるxの範囲と, 2≦f(x) ≧4となるxの範囲を見
極めて場合分けをする。
解答
(1) グラフは図 (1)。
2
(0 (
(2) f(f(x))={
= { ² - 2/(x) (2=/(x)=2) I+=>zen sa
よって, (1) のグラフから
0≦x<1のとき f(f(x))=2f(x)=2.2x=4x
1≦x<2のとき
2≦x≦3のとき
3<x≦4のとき f(f(x))=2f(x)=2(8-2x)=16-4x
よって, グラフは図 (2)。
15 (1) 16-25-
YA
2---
O
((2)) y=f(f(x))
1
1
1
I
I
I
I
i
1
1 2
1
I
SS. - 01
I
I
I
3 4
f(f(x))=8-2f(x)=8-2.2x=8-4x
f(f(x))=8-2f(x)=8-2(8-2x)=4x-8
x
(2)
f(x)={
4
EDERE)=x
=(S—)S=
I
1
0 1 234 x
2x
(0≦x<2)
8-2x (2≤x≤4)
[参考] (2) のグラフは,式の意味を考える方法でかくこともできる。
[1] f(x) が2未満なら2倍する。
51-5-SI
[2] f(x) が2以上 4以下なら, 8から2倍を引く。
[右図で,黒の太線・細線部分がy=f(x), 赤の実線部分が
y=f(f(x)) のグラフである。] なお,f(f(x)) f(x) f(x) の
合成関数といい, (fof) (x) と書く (詳しくは数学Ⅲで学ぶ)。
変域ごとにグラフをかく。
(1) のグラフから, f(x) の
変域は
0≦x<1のとき
0≤ f(x) <2
1≦x≦3のとき
2≤ f(x) ≤4
3<x≦4のとき
0≤ f(x) <2
また, 1≦x≦3のとき,
f(x) の式は
1≦x<2なら f(x)=2x
2≦x≦3ならf(x)=8-2x
このように、2を境にして式
が異なるため, (2) は左の解
答のような合計4通りの場
合分けが必要になってくる。
y
2
0
8から2倍を
引く
2倍する
ンのとき
Ela. b)
れる曲線C
