波線を引いたところで 内積の計算では、始点が揃ってなくても垂直だと言えるのですか？

DOON 重要 例題 33 内積と三角形の形状 △ABCが次の等式を満たすとき ABCはどんな形の三角形か。 (1) AB・AC=|AC| 41623 (2) AB BC=BC CA-CA AB ● CHART SOLUTION 三角形の形状問題 2辺 の長さの関係,2辺のなす角を調べる (1) JAC|=AC・AC であるから (AB-AC) ・AC=0 内積=0⇔垂直か 0 (2)等式 AB・BC=BC･CA を AB, AC を用いて表し, 整理する。また,同 に、等式 BC･CA=CA・AB を BA, BC を用いて表す。 (解答) (1) AB･AC=|AC| から 200 AB･AC-A・AC=0 |←|AC|=AC-AC ゆえに (AB-AC) ・AC=0 ◆bc-c² = 0 から ada AB-AC=CB であるから CB･AC=0 よって CB-AC すなわち CB⊥AC したがって, △ABCは∠C=90°の直角三角形である。 基本30:30 ( 6-c)c=0と似た誰 -X6800 18 = 110

英語の読解問題です。 これで合っているでしょうか？

Bob 7:45 A.M. Hi, Natasha, I'll probably be late for the 9 o'clock meeting, because the train is delayed. They say the signal at the railroad crossing is out of order. Natasha 7:59 A.M. Hi, Bob! In that case, I can postpone the meeting to this afternoon. I will e-mail the other members right away. Don't worry. Bob 8:01 A.M. Thanks. By the way, did you prepare the sales presentation for the conference on Friday mornings? Natasha 8:02 A.M. I haven't finished it yet. I couldn't hit on a good solution to the problem we discussed at the previous meeting. Bob 8:03 A.M. Oh, that's too bad. Well, we only have a couple of days---we should hurry. I'll help you finish preparing it this afternoon after the meeting is over. You say you didn't come up with a good idea, but don't worry, two heads are better than one. on onder Natasha 8:06 A.M. Thanks very much. I appreciate that. alqoo C) yooooto CASPROEU45 tit vqoootorio Svapo (a 9. Why will Bob be late for the morning meeting?oootoriq no ten (A) Due to a problem with the railway. (B) He woke up late. Matic (C) On account of bad weather. (D) He didn't prepare for the presentation. Fun 10. What day of the week are they messaging each other? (A) Wednesday ver (B) Thursday em MBO (C) Friday (D) Saturday ACCRE 11. What is Natasha's problem? ( noites no op (2) (A) She was absent from the previous meeting.taght seeniaud (B) She was late for the morning meeting. (C) She does not know how to proceed with her work. iqumsini of (D) She forgot to prepare for the sales presentation. 12. At 8:03 a.m., what does Bob mean when he writes "two heads are better than one"? priatum vond boriste ynsamos ent (A) Two managers are preferable to one. (B) They will be more successful as a team. (C)) Different people have different ideas. (D) They should encourage each other. KEMENTES) quanil toubang (2) quenill 録

別解の矢印のとこがよく分からないです。教えてほしいです

pan エ 基本例題 105 an+1 次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 a1 = 3, an+1=2an-n nds=ind CHART SOLUTION 漸化式 an+1= pan+ (n の1次式) (1) 階差数列の利用 2 an+1-f(n+1)=p{an-f(n)} と変形・・・・ ②の変形については右ページのズームUP を参照。 下の解答は1の方針による解法で、 別解 は2の方針による解法である。 「解答」 an+2=2an+1−(n+1) an+1=2an-n 辺々引いて an+2an+1=2(an+1-αn)-1 bn=an+1-an とおくと bn+1=26-1 ･① また b1=a2-α=(2・3-1)-3=2 ①から bn+1-1=2(bn-1) 更に b₁-1=1 ゆえに, 数列{bm-1} は初項1,公比2の等比数列となり bn-1=1・2n-1 すなわち bn=2n-1+1 よって, n ≧2のとき n-1 2-1-1 an= a₁ +(2k-¹+1)=3+- +(n-1) k=1 2-1 =2"-1+n+1 α=3であるから,この式はn=1のときにも成り立つ。 したがって an=2n-1+n+1 別解an+1=2an-n を変形すると↓ an+1-(n+2)=2{an-(n+1)} TOTSDAY また a-(1+1)=3-2=1 S& ゆえに, 数列{an- (n+1)}は,初項1,公比2の等比数列と なり an-(n+1)=1・2″-1 したがって an=2"-1+n+1 00000 ゴーマ 基本103,104 α=2α-1 を解くと α=1 inf. bn=2"-1+1 を求め た後は Jan+1=2an-n lan+1-an=2" 1+1 から an+1 を消去して an=27-1+n+1 と求めてもよい。 ◆ n=1 とすると 2°+1+1=3 この変形については ページのズームUP 参照。

5行目の破線のところで、なぜ aﾍﾞｸﾄﾙとbﾍﾞｸﾄﾙが平行でないことを言わなければなりませんか？

378 基本例題 29 交点の位置ベクトル (1) 奈闘共 80000円 △OAB において, 辺OAを1:2に内分する点をC, 辺OB を 2:1に する点をDとする。 線分 AD と線分BC の交点をPとし,直線OP と の交点をQとする。 OA= a, OB = とするとき, 次のベクトルをd 用いて表せ。 p.337 基本事項 3, p.370 基本事項 1 (2) OQ (1) OP CHART • SOLUTION ... 交点の位置ベクトル 2通りに表し 係数比較 ・・・・･･ (1) AP:PD=s: (1-s), BP:PC=t: (1-t) として, 点Pを 線分 AD における内分点, 線分BCにおける内分点 の2通りにとらえ, OPを2通りに表す。 (2) 点Qは直線OP 上にあるから,OQ=kOP (kは実数)と表される。( 様に、点Qを線分 AB における内分点, 直線 OP 上の点の2通りにとらえ、 OQを2通りに表す。 解答 (1) AP:PD=s: (1-s), BP:PC=t: (1-t) とすると OP=(1-s)OA+sOD=(1-s) a+1/23st.... ① OP=(1-10B +10C=1/23ta +(1-1)..... ② •2S+ DE CI G S D. *5 (1=s)ã+² sb=tä+(1-t)b ① ② から A ad, d=d, axt であるから 1-s=1/23t, 1/23s=1-10点ぷ 6 これを解くとs=0, t 3 ゆえに OP=1/4+1/6 注意 左の解答 = 7 の断りを必ず明記 (2) AQ:QB=u: (1-u) とすると OQ=(1-u)a+ub inf. メネラウン チェバの定理を また,点Qは直線 OP上にあるから, OQ=kOP(は実数) とすると, より は, p.380の 0 2732₁ (1) * _0Q=k (²a + 16 ) = — ka + 47 kb また, ベクトル HAR=DAいる解法は次管 よって (1¬u)ã+ub=ká+½ kb 360 L adid, axi であるから 1-u=1/2k, 0, 0, 405 SUF 7 これを解くと k= u= 5 1-u=//k, u=k 19²k0Q===ã+₁ ゆ - 6 13 a

なぜ正方形の面積がY＝A P2乗となるのかわかりません まずこっからどうやって正方形を作るんですか?? 書いてほしいです，お願いします🤲

定数 重要 例題 55 関数の作成 ①①①①① 93 図のような1辺の長さが2の正三角形ABCがある。 点P が頂点Aを出発し、 毎秒1の速さで左回りに辺上を1周す るとき,線分 AP を1辺とする正方形の面積を、 出発後 の時間 x (秒) の関数として表し、そのグラフをかけ。 44x1 ただし, 点Pが点Aにあるときは y=0 とする。 B CHART SOLUTION 変域によって式が異なる関数の作成 (1) xの変域はどうなるか 0≤x≤6 (2) 面積の表し方が変わるときのxの値は何か x=2,4 - 点Pが辺BC上にあるときの AP2 の値は、 三平方の定理から求める。 解答 AP2 であり,条件から,xの変域は 0≤x≤6 [1] x=0,x=6のとき 点Pが点Aにあるから y=0 点Pは辺AB上にあって AP=x [2] 0x2のとき よって y=x2 P x-4 [3] 2<x≦4のとき 点Pは辺BC上にある。 1 B TP M C 辺BCの中点をMとすると, BCIAM であり よって, 2<x≦3のとき PM=1-(x-2)=3-x x-2 3 ◆結局 2<x≦4 のとき 3<x≦4 のとき PM=(x-2)-1=x-3 AM=√3 ここで PM=|x-3| ゆえに, AP? PM2+ AM2 から y=(x-3)2+3[1] 頂点(3,3), 軸 x=3 [4] 4<x<6 のとき 点Pは辺CA 上にあり, PC=x-4, の放物線 -------- AP2= (AC-PC)2 から {2-(x-4)}=(6-x)2 YA ! y=(x-6) 2 II =(x-6)2 [1]~[4] から 4 頂点 (6,0), 軸x=6 の放物線 3 0≦x≦2のときy=x2 x=0, y=0 は y=x2 に, 1 1 1 I 2<x≦4のときy=(x-3)2+3 x=6, y=0 は y=(x-6)2 1 T 4<x≦6 のときy=(x-6) 2 234 に含められる。 グラフは右の図の実線部分である。 場合 に 作って 吟味 O BM=1 6 x 0<x<2 2≤x≤4 C 3章 7 関数とグラフ

僕が解いた時に、黒丸している言葉が抜けてしまっていたんですが、入試でこれを書かなかったら減点になりますか？？

92 重要 例題 54 1次関数の決定 (2) 20 関数 y=ax-a+3 (0≦x≦2) の値域が 1≦y≦bであるとき,定数a, b 値を求めよ。 CHART SOLUTION グラフ利用 端点に注目 1次関数 y=ax+b というと,α40 であるが,単に関数というときは, a0 の場合に a=0, a=0 の場合も考えなければならない。 この例題では、xの係数がαであるから a>0, て, 値域を求める。 次に, 求めた値域が 1≦y≦b と一致するようにa,bの連立方程式を作って このとき,得られたaの値が 場合分けの条件を満たしているかどうか吟味す のを忘れずに。 解答 x=2のとき y=a +3 x=0のとき y=-a+3, [1] YA [1] a>0 のとき この関数はxの値が増加するとyの値も増加するから, x=2 で最大値6, x=0で最小値1をとる｡ よって a+3=b, -a+3= 1 これを解いてa=2,6=5 これは,α>0 を満たす。 [2] α=0のとき この関数は y=3 このとき,値域はy=3であり、1≦y≦b に適さない。 [3] α<0 のとき この関数はxの値が増加するとyの値は減少するから, x=0 で最大値 6, x=2で最小値1をとる。 よって -a+3=b, a+3=1 これを解いて a=-2, b=5 これは, <0 を満たす。 [1]~[3] から (a,b)=(2,5), (-2, 5) B = PRACTICE・・・ 54 ③ TIQ (1) 定義域が −2≦x≦2, 値域が −2≦y≦4 である1次関数を求めよ。 1 (2)y=ax+b (b≤x≤h+1) 方 値を求めよ b+3 -a+3 10 「定数関数 ba+3 [3].y a+3 E VVV (2) 3436 No. LIE Date- 10 も ky6

黄色いマーカー部分はなんの数？ですか？？？ どこから来た分数ですか？？？

基本例題 66 最大・最小の文章題(1) ①0000 BC=18, CA=6である直角三角形ABCの斜辺AB上に点Dをとり、Dか ら辺BC, CAにそれぞれ垂線 DE, DF を下ろす。△ADF と △DBE の面積 の合計が最小となるときの線分 DE の長さと、そのときの面積を求めよ。 ③ 基本60 CHART & SOLUTION 文章題の解法 最大・最小を求めたい量を式で表しやすいように変数を選ぶ DE = x とすると,相似な図形の性質から△ADF, △DBE はxの式で表される。 また、xのとりうる値の範囲を求めておくことも忘れずに。 解答 DE=x とし, △ADF と△DBE の DA 面積の合計をSとする。 D 0 <DE=FC <AC であるから (辺の長さ) 0 a-3 0<x<6) B E C xのとりうる値の範囲。 AF=6-x △ABC △ADF であり, △ABC: ADF=62: (6-x)2 相似比がmin→ 面積比は²: n² AABC= 11･18･654 であるから 2 三角形の面積は 内国産 △ADF= 3 (6-x)2 62 -•54=(6-x)² 1/2×(底辺)×(高さ) 2 CHEERHOU 7523/14 別解 長方形 DECF の面積 同様に,△ABC~△DBE であり△ABC:△DBE=62: x2 をTとすると Tが最大に x. なるときSは最小となる。 3 •54-2 よってして△DBE= 2 62 AS DF=3(6-x) から -2, q=11 T=x·3(6-x) したがって,面積は 549 por 11 (y =-3(x-3)2+27 S=△ADF+ △DBE をとる小大 0<x<6から, x=3でT 3 27 は最大値 27 をとる。 = 2{(-x2+x2} よって,線分 DE の長さが (x)=3(x2-6x+18) 3のとき、 S は 最小値 3 6 =3(x-3)²+273)-1.0 1/1･6･18-27=27 ① において, S は x=3 で最小値 27 をとる。 をとる。 よって,線分 DEの長さが3のとき面積は最小値 27 をとる。 8TH-31x0 $b #*@b#30 0%b,(C FLOR 662 d 117 3 8 2次関数の最大・最小と浸

［2］で①②の不等号はどーやって決めるんですか??どんな場合分けをしているんですか??

AUB ついて、 い。 基本例題 36 不等式で表される集合 実数全体を全体集合とし, A={x|-2≦x<6},B={x|-3≦x<5}, ={x|k-5≦x≦k+5}(kは定数)とする。 (1) 次の集合を求めよ。 (ア) ANB (イ) AUB (ウ) B (エ) AUB (2) ACCとなるkの値の範囲を求めよ。 Ip.62 基本事項 1 CHARTO SOLUTION 不等式で表された集合の問題 数直線を利用 集合の要素が不等式で表されているときは, 集合の関係を数直線を利用して表 すとわかりやすい。 ...... P その際,端の点を含む (≦, ≧) ときは ● 2 5 x 含まない (<,>)ときは○ で表しておくと, 等号の有無がわかりやすくなる(p.50 参照)。 例えば,P={x|2≦x<5} は右の図のように表す。 -B -B- A TA ◆補集合を考えるとき -3-2 端の点に注意する。 |○の補集合は ● ●の補集合は○ の要素 を調べ 解答 1) 右の図から (ア) A∩B={x|-2≦x<5} B (イ) AUB={x|-3≦x<6} , OB (ウ) B={x|x<-3,5≦x} (エ) AUB={x|x<-3, -2≦x} (2) ACCとなるための条件は k-5≦-2 645 ② が同時に成り立つことである。 ①から k≤3 ②から 1≤k 共通範囲を求めて 1≤k≤3 INFORMATION (2) において, C'={x|k-5<x<k+5} であるとき, ACCとなるための条件は k-5-2 かつ 6≦k+5 k-5-2 6 k+5 すなわち, 1≦k < 3 となる。 等号の有無に注意しよう。 PRACTICE･･・･ 36② 実数全体を全体集合とし, A={x-1≦x<5}, _) B={x|-3<x≦4},C={x|k-6<xKk+1}(kは定数)とする。 (1) の健全を求めよ k-5 -2 56 x 6 k+5 .)-á le ← k=1のとき k=3のとき C={x|-4≦x≦6} C={x|-2≦x≦8} であり,ともに ACC を満たしている。 $30 ・A 65 2章 LO 集合

(1)は固定した色の選び方が何通りかについて触れていないのになんで(2)では固定した色の選び方が何通りかについて触れているんですか

ダルエスサラーム ト順の 基本16 塗り分け問題 (2) 例題22 291 「立方体の各面に, 隣り合った面の色は異なるように,色を塗りたい。 ただし、 立方体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす。 異なる6色をすべて使って塗る方法は何通りあるか。 (1) ⓒ p.279 基本事項 2. 基本 15,17, 重要 33 (2) 異なる5色をすべて使って塗る方法は何通りあるか。 & SOLUTION CHART L 回転する面の塗り分け (1) 1色で固定 ある面を固定して円順列 展開図 (上面を除く) (またはじゅず順列) (1) 上面に1つの色を固定し、 残り 5面の塗り方を 下面 考える。まず, 下面に塗る色を決めると, 側面の 塗り方は円順列を利用して求められる。 側面は円順列 (2) (2) 5色の場合、同じ色の面が2つある。 その色で 上面と下面を塗る。 そして, 側面の塗り方を考え るが,上面と下面は同色であるから、下の解答の ようにじゅず順列を利用することになる。 同色で固定 と、含まれな (1) ある面を1つの色で塗り、それを上面に固定する。 (1) 例えば、左の塗り方の上下を裏 このとき,下面の色は残りの色で塗るから 5通り 返すと右の塗り方と一致する。 こ のような一致を防ぐため、 上面に 0 そのおのおのに対して, 側面の塗り方は,異なる4 個の円順列で (4-1)!=3!=6 (通り) 1色を固定している。 25 5×6=30(通り) .6 JCT0 S (2) 2面を塗る色の選び方は5通り。いて証明すること 0 その色で上面と下面を塗ると, そのおのおのに対し 6' て、側面の塗り方には,上下を裏返すと塗り方が一 (*) 例えば、次の2つの塗り方 致する場合が含まれている。 ゆえに、異なる4個のじゅず順列で (側面の色の並び方が, 時計回り、 反時計回りの違いのみで同じもの) は上下を裏返すと一致する。 (41) 31=3(通り) .5 <5) 2 2 よって ただし、 5×31(通り) P3210 9 Ud 5' PRACTICE 224 ALBRECTION 次のように される。 次のような立体の塗り分け方は何通りあるか。 ただし, 立体を回転させて一致する塗 LAN YORETIA SA り方は同じとみなす。 ASH AND DEDOLGOTRAV (1) 正四角錐の各面を異なる5色すべてを使って塗る方法 (②2) 正三角柱の各面を異なる5色すべてを使って塗る方法 当な数 ■から、 列の先頭 ルワンダ キガリ ブルンジプションプラ コモロ レファベ Uを おいて うになる。 コロの 108個] 164235, である。 =目の文 記列す は繰り 園大] 列を, セーシェル ビクトリア 異なる色 1. C 1章 2 順 一列 グアム島 方法は何通り 034 の って

P→Q＝P⊂Qが成り立つんですよね？ XY=0→X=0は偽じゃないんですか？ X=0の時、必ずXYは0なので……

■1-2. 命題の真偽 命題が正しい時を真、 間違っているときを偽と言います。 P⇒Qが真の時は、以下が成り立ちます。 Q. Ⓒ PCQ 条件Pは条件Qに含まれているということです。 それでは、簡単な実践です。 命題の真偽を判断してみてく ださい。 ※X、Yは実数とします。 (1)X+Y>0、XY>0ならば、 X> 0, Y>0 になる。 (2) X2=16ならば、X=4になる。 【解答】 (1)真、XY>0の時は (X>0、Y>0) または(X<0, Y <O)。 だから､ X+Y>0が成り立つのは、X>OnY>0の時だけで す。。 (2) 偽、 X2=16の時は、X=±4が成り立ちます。 ■ 1-3. 命題否定 条件Pに対して、 「Pでない」 条件は P