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『基礎問』
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デザイ
基礎問
8 第1章 式と曲線
2 円(ⅡI)
だ円+y=1のx>0,y>0 の部分を C で表す.曲線C上に点
P(x1,y1) をとり, 点Pでの接線と直線y=1, および, x=2 との交点
をそれぞれ, Q, R とする. 点 (2, 1) をAとし, AQR の面積をSとお
く.このとき、次の問いに答えよ.
(1) +2y=kとおくとき, 積 をkを用いて表せ.
(2)Sを用いて表せ.
(3) P
(1) 点Pはだ円上にあるので, i' +4y²=4 (c>0,y>0)をみた
しています。
(2) AQRは直角三角形です。
(3) のとりうる値の範囲の求め方がポイントになります。 解答は2つありま
すが、1つは演習問題1がヒントになっています。
解答
精講
(1)
Sの最大値を求めよ.
C上を動くとき,
mi'+4y²=4
1 (1+2y1)2-4.miyュ=4
k²-4
miyi=
(2) P(x1, y1) における接線の方程式は
x₁x+4y₁y=4
Q(4-4₁, 1), R(2, 4-20₁)
I
4y1
よって,
AQ=2-
AR=1-
4-4y₁2x+4y₁-4
X1
πr
Y
4-2.12.1+4y-41+2y-2
4y₁
441
2y₁
S=1/12 AQAR=(+2y-2) __ 2(k−2)2
2x141
k2-4
Q
P
x=2
Ay=1
AR
x
2(k-2)
k+2
y を消去して
(3) (解I)(演習問題1の感覚で･･･)
[mi'+4yi²=4...... ①
|x+2y=k ......
②
=2
8
k+2
x₁²+(k-x₁)²=4
2x12-2kx1+k²-4=0
判別式≧0 だから,
1 k²-2(k²-4) ≥0 k²-8≤0
∴. -2√2≦k≦2√2
また、右図より 1/12 ..2<k
演習問題 2
ポイント
より,
よって,
2<k≦2√2
が最大のときSは最大だから, Sの最大値は 6-4√2
x₁²
| 2cose
(0<a<) とおける.
y = sine
.3π
4
より
(DOR E
∴.k=x+2y=2(sin0+cose)=2√2 sin|
<+4 だから 1/1/12 sin (04/1
√2
sin(0+1)
2<k≤2√2
んが最大のときSは最大だから, Sの最大値は6-4√2
円 +12=1上の点は
x²
a²
y²
x=acos0, y = bsin0 とおける
9
だ円+g=1と直線y=-1/2x+k(k:定数)は,異なる2
点P, Qで交わっている.このとき, 次の問いに答えよ.
(1) 定数kのとりうる値の範囲を求めよ.
(2) 線分PQの中点 M の軌跡の方程式を求めよ.
第1章
