まるがついてるところ(4)が分かりません。どなたか教えていただけないでしょうか。

ベクトルの内積 a して, d = OA, 万 = OB となるように点 空間において, 0 でない2つのベクトルa, Tに対し,点Oを始点と 6 B A,Bをとる。 このとき, ∠AOB = 0 を a と のなす角という。 ただし, 0° 0 ≦180° とする。 O 平面の場合と同様に, a と 6 の内積 α・b を,次のように定義する。 a·b = |a||b|cos 0 a = 例8 11 -> ● 0 または 6 = 0 のときには, d = 0 と定める。 右の図のような立方体ABCD-EFGH に おいて, 内積 AC・AF を求めてみよう。 △ AFC は正三角形であるから → |AC|=2√2|AF|= 2√2, ∠CAF = 60° よって 例8で,次の内積を求めよ。 (1) AB AF (3) DE・FC ● 6, ● (2) BG DE (4) DEAF < E AC・AF = 2√2×2√2 × cos60°= 4 2 a D H₂ G FB G A C 2章 3節 空間におけるベクトル

ベクトルがよく分かりません 何故座標を設定するのか分かりません ベクトルで問題のように単位ベクトルを設定して解く方法はよく使いますか？ またどういう問題に使うか教えて欲しいです

384 €¾ DMCAMPSNIORE 右の図の直方体で, OA=d, OB=1,OC=c, OP=1 と する. と a, , このなす角をα1, B1, 71 とするとき, cos2d1 +cos2β1+cos2y1=1 であることを証明せよ. 考え方 解答 座標を導入して, 内積を用いて表す. 右の図のように, Oを原点とする直交座標を設定する. x,y,z軸方向の単位ベクトルをそれぞれ ex=(1, 0, 0), ez=(0, 1,0), es= 0, 0, 1) とし, p= (x,y,z) とおく と, p•ei=x=1・|p|cos α1 p•ez=y=1·|p|cos B1 pes=z=1・|p|cos Y1 …… ③ ZA ANT +cos2(90°-β2)+cos2(90°y) A =sin?az+sin'β2+sin'yz ①' +②2+③^ より, x2+y2+z=1D2(cos2an+cos2 B1+cos2y1) (084- ここで,|pP=x2+y2+22≠0 より, cos2a+cos2 B1+cos²yｭ=1 IC r1 072 P 注〉 例題 384 にあるとx軸,y軸、z軸のなす角 α1, B1, Y1 に対して, COS α1, COS P', COSY1 をの方向余弦という. 例題384 だけでは何の意味があるかわかりにくいが, cos'a+cos2 B1+cos' r1 = 1 から次のこともわかる. (ア) OP と 平面 OBC, 平面 OCA, 平面 OAB のなす角をそ れぞれ az, B2, Y2 とする. との関係は下の図のよ うになるから, X₁+X2=90° 同様にして, α+αz=90°, B1+B2=90° したがって, cos'a+cos2 B1+cos2Y1 =cos2(90°-α2) =(1-cosaż)+(1-cos'β2)+(1-cos'yz)=1 UAO A IB C C ni 0 B1 x A 内積を用いる. 0 a ri ・B /α l' は l を平面αに正 y 射影した直線で,この ときのが直線と平 面αのなす角である。 :平面αの 法線ベクトル 50 よって, cos'az+cos2β2+cos'y2=2 (イ) OP のかわりに平面ABCの法線ベクトルについて考える。 平面ABCと平面 OBC,平面 OCA,平面OAB のなす角をそれぞれ Q's, B3, Y3 とする。 右の図より, Y = Y3 同様にして, α =α3, B1=B3 よって, cos'as+cos2β3+cos2y3 平面ABCの 法線ベクトル 平面ABC 73 平面OAB =cos'a'+cos2B1+cos2y1=1/①( また, OBC, AOCA, △OAB はそれぞれ △ABCの yz 平面, 2x 平面, xy平面への正射影より、 △OBC=△ABCcos α3, OCA=△ABC cos β3, △OAB=△ABC cos Y3 よって, ① を用いると, (△OBC)2 + (△OCA)^+(△OAB)²=(△ABC)2 (四平方の定理) が導ける。

なぜ赤線部のようになるのですか？教えてください

ベクトルと座標軸のなす角 題 67 空間において、大きさが4で,y軸の正の向きとなす角が120° 軸の正の向き |となす角が135°であるようなベクトルを求めよ。 また, がx軸の正の向き ☆★☆★☆★☆☆ となす角を求めよ。 ●軸の正の向きとなす角)=(●軸の向きの基本ベクトルとなす角) と考えるとよい。 すなわち, e1 = (1,0,0), e2=(0,1,0), s = (0, 0,1), p=(x,y,z)として,まず内積 pez, pes を考え, y, zの値を求める。 A 20 =(1, 0, 0), e₂=(0, 1, 0), es=(0, 0, 1), p=(x, y, z) | CHART とするとpez=xx0+y×1+zx0=y, 座標軸となす角 pes=xx0+yx0+²×1=z また p.ez=|p||ez|cos 120°=4×1× p.es=|p||es|cos 135°=4×1×| 1x (-1)=-2. よって y=-2, z=-2√2 このとき [P=x²+(-2)^+(-2√2)²=x²+12 x2+12=16 p=16 であるから ここで cose= XC | plled = 4×1= = = 4 したがって 11/12 ) = -2/2 -2√2 T ゆえに,x=2のとき, cos0=1/2 であるから COSO= ゆえに x=±2 0=60° x=-2のとき, cos0=1/2であるから=120° 標空間におけるベクトルの方向余弦 p=(2, -2, -2√2), 0=60° ### p=(-2, -2, -2√/2), 0=120° az REFU に対して,こがx軸、y軸、z軸の正の向きと 例題 64 基本ベクトルを利用 別解がx軸の正の 向きとなす角を0とす ると 529 p=(4 cos0, 4cos 120°, 4 cos 135°) |||=4であるから 4² (cos ²0 + 1 + 1/²) = ₁² =42 ゆえに cos2d- = 1 よって cos=土- (これから左の答えが出 る。 ZA a3 2章 9 ベクトルの内積 (a₁, az, az)

cos角CEFがなぜEF/CFになるのですか？

考え方 解 例題 371 空間のベクトルの内積 (1)=(-1,-2,1)=(2,1,1) のとき,内七 積江・言, および、ことのなす角を求めよ. (2) 右の図のような直方体において AB=AE=1, AD=√3 とするとき,次の値 を求めよ. (ア) ABEG (1) AB-FH (2) 2つのベクトルの始点を合わせてなす角 5 CLOS AS T2 が何度か考える. 次の三角形に着目する. (ア) EFG (イ) △EFH (ウ) CEF より cosa.b_+1-3 2 空間のベクトルの成分と内積 ** (ウ) AB･EC=|AB||EČ| cos∠CEF (ウ) ABEC IEC|=√/12+12+(√3)=√5 EF=1/5 CE AB-EC=1×√5× COS ∠CEF= よって TONE lall61 √ 6 √ 6 = = - 12/2 よって,0°≧0≦180°より、 0=120° (2) (AEGのなす角は60° |EG=2 より には E |c| AB･EG=|AB||EG|cos60°=1×2×1=1 (イ)ABとFのなす角は120° FH|=2より, 25 AB・FH=|AB||FH|cos120°=1×2×(-1/2) = - 1 <1= 5 G √3√3 F E (1) = (-1)×2+(-2)×1+1×1=-3 HIS CONTES |a|=√(-1)²+(-2)^+12=√6|8|=√22+1²+1²=√6面平一同 E E TRE 注 (2)については,次のように始点をそろえて考えてもよい。 H E D P H B H √√5 EGACより、 AB と EGのなす角 は AB と AC のなす 角と同じ EG=√12+(√3) 2 A B 直方体の対角線 G をど ADEC-AB (AR+AR)=[AB ²+AB·AD=1 (F 120°

(3)の解き方を教えていただきたいです。また、(1)と(2)の答えは1で合っていますか？

●空間のベクトルの内積を求めてみよう。 例6 右の図のような, 1辺の長さが1の立方体ABCD- EFGHにおいて, △AFC は, 1辺の長さが2の 正三角形であるから AF AC = AF || AC | cos 60° =√12×12×1/2/3=1 ● = また, ∠DAE = 90° であるから ADAE = | AD || AE | cos 90° =1x1x0=0 問6 例 6 で 次の内積を求めなさい。 (1) CACF (2) FB. FA (3) AEAC A E \60° √√2 D √√2 H p.76 復習問題④4 B F 12

線を引いたところが分かりません！OA'Pがなぜ二等辺三角形だと分かるのですか？解説お願いします🙇🏻‍♀️

図形の性質を用いて,いろいろな点の位置ベクトルを求めてみよう。 OA = 3,OB=2, cos ∠AOB である三角形OAB がある。 また, OA=d, 3 OB = " とする。 最初に,∠AOB の二等分線上の点の 点0に関 する位置ベクトルがどのような形で表されるか求め てみよう。 辺OA上に OA'=1となるように点A' をとり,辺OB 上に OB′ =1となるように点B' を とる。∠AOB の二等分線上にあり, 点0 と異なる となるようにとることができ 点Pを, OP と表される。 ア このとき OP ア と表すことができる。 ア ウ I である。 OM=kOP=k イ (kは0以上の実数) の解答群 オ また,∠AOB の二等分線上の任意の点をMとすると, 点 0 に関する点 M の位置 ベクトルは A については,最も適当なものを、次の⑩~③のうちから一つ選べ。 四角形OAPB が ∠OAP=90°の四角形 四角形OAPB が平行四辺形 四角形OAPB' がひし形 ③ 四角形OAPB がひし形 3 (第1回 15 ) (数学ⅡⅠ・数学B 第5問は次ページに続く。) stolia ā B 2 2 262 巧

解答の7行目から8行目にかけての変形が分からないので教えて欲しいです！

50 139. 三角形 ABC は BA·CA=0 を満たしている.この三角形を含む 平面上の点Pが, AP･BP+BP･CP+CP.AP = 0 を満たすとき, 点Pはどのような図形上の点であるか.また,その図形を 描け.ただし,AP･BP などはベクトルの内積を表す. (岡山理科大) HO AO 5 HAOA DEL

線を引いたところが分かりません！どこからOA'Pが二等辺三角形になると分かるのですか？解説お願いします🙇🏻‍♀️

図形の性質を用いて,いろいろな点の位置ベクトルを求めてみよう。 OA = 3,OB=2, cos ∠AOB である三角形OAB がある。 また, OA=d, 3 OB = " とする。 最初に,∠AOB の二等分線上の点の 点0に関 する位置ベクトルがどのような形で表されるか求め てみよう。 辺OA上に OA'=1となるように点A' をとり,辺OB 上に OB′ =1となるように点B' を とる。∠AOB の二等分線上にあり, 点0 と異なる となるようにとることができ 点Pを, OP と表される。 ア このとき OP ア と表すことができる。 ア ウ I である。 OM=kOP=k イ (kは0以上の実数) の解答群 オ また,∠AOB の二等分線上の任意の点をMとすると, 点 0 に関する点 M の位置 ベクトルは A については,最も適当なものを、次の⑩~③のうちから一つ選べ。 四角形OAPB が ∠OAP=90°の四角形 四角形OAPB が平行四辺形 四角形OAPB' がひし形 ③ 四角形OAPB がひし形 3 (第1回 15 ) (数学ⅡⅠ・数学B 第5問は次ページに続く。) stolia ā B 2 2 262 巧

(2)の置き換えのところで、文字を変えてしまっても何故差し支えないのですか？ ちなみに、赤く書き込んだところは気にしないでください

XOO 20 内積と不等式 要 例題 次の不等式を証明せよ。 |ã·6|≤lä||6| CHART OLUTION (2) là lời là tôi đã hỏi 不等式の証明 A≧0, B≧0 のとき AMBAB2....... (1) 内積の定義を利用するか, または成分を用いて証明する。 成分を用いて証明 するときは, la (a)2 を示す。 (2) まず、右側の不等式 la +6|≧|a|+|6| を証明する。 途中, (1) の結果が利用 できる部分がある。 左側の不等式7-166は、先に示した右側の不 等式を利用して示すとよい。 TERE |à.6|=|a|lb| (1) α = 0 または T=0 のとき,a6=0,la||5|=0であるから 060 のとき, a と のなす角を0とすると a6=|a|||cose, -1≦cos0≦1 |à·b|=|a|| 6 || cos 0|≤|ä||b| ゆえに よって, la la || | が成り立つ。 a=(a,b),b=(c,d) とすると危 ¯ (ſa||b|)²—\ã·¯³²=(a²+b²)(c²+d²)−(ac+bd)² =a²d2+bc²-2acbd=(ad-bc)2≧0 よって (² a-b≥0, |a|||≥0 THBAS |à·b|≤|a||6| (2) (1) ³5 (|a|+|6|) ² − |ã + b ² 360 =|a|+2|a||5|+|6-(+20万円) =2(a || b-a. b) ≥0 al+16D2 ゆえに lä|+|b|≥0, |ã+b|≥0 (345 là tôi là tôi ... ⑩において, a を att, 方を一言とすると p.352 基本事項」 |a+b-b|≤|a+b|+|-61 |a||a +6|+|6| (1) 条件 「ad または ①」の否定は 「ad かつ≠0」 365 cos |≦1 ◆ 等号が成り立つのは, a=① または = 0 また は a // 6 のとき。 inf. la-blabl là lời cả ở là lời と表すこともできる。 <la+b1² =(a+b)(a+b) (1) から 7 € 117263 à·b≤la·b|slab ■=16 1章 よって ゆえに |||||6 in | をベクトルの三角不等式ということがある。[S 0,05 Tal-16|≤|a+b|≤|a|+|b| PRACTICE･･･ 20③ 不等式 |3a +26|≦3|a|+2|6| を証明せよ。 3 ベクトルの内積

数Bの平面ベクトルの問題で、おそらく円のベクトル方程式の問題ということはわかるのですが、解き方からわからないのでわかる方いたら教えてください（ ; ; ）

5 8. 平面上の異なる2つの定点0, A と任意の点Pに対し, OA=a, OP= とする。次のベクトル方程式はどのような図形を表すか。 (1) (+a)·(p—à)=0 x (2) |þ+ã|=|þ−ã| +a=d SERGI 上のベクトル