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(x-2)で
を考える。
二余りは、 1
または定数
, 2
b,cの
を見つけな
1式)から
ち6=3
下の練習 5
有効である。
を
伺ったときの
すると、
ら
(x-2)(x)
+2)+R(土) 2
+al+RU
を代入
がらで
ったときの余り
00000
2以上の自然数とするとき, x-1 を (x-1)^2で割ったときの余りを求
[学習院大 ]
めよ。
3x100+ 2x7 +1をx2 +1で割ったときの余りを求めよ。
( 2 )
指針
.88~90 でも学習したように,
実際に割り算して余りを求めるのは非現実的である。
① 割り算の問題 等式 A=BQ+R の利用
R の次数に注意 B = 0 を考える
がポイント。
(1) (2) ともに割る式は2次式であるから, 余りは ax+b とおける。
(1) 割り算の等式を書いてx=1 を代入することは思いつくが、それだけでは足りない。
そこで,次の恒等式を利用する。 ただし, nは2以上の自然数, α=1, 6°=1
a"-6"=(a-b)(a-1+α 2b+α"-362+ +ab+b^-1)
(2) x2+1=0の解はx=±
x=iを割り算の等式に代入して,複素数の相等条件
A, B が実数のとき A+Bi=0⇔A=0, B=0
を利用。
解答
(1) x-1 を (x-1)2で割ったときの商をQ(x), 余りをax+b | 解 (1) 二項定理の利用。
とすると 次の等式が成り立つ。
x-1={(x-1)+1}"-1
x-1=(x-1)'Q(x)+ax+b..... ①
両辺にx=1 を代入すると
① に代入して x"-1=(x-1)'Q(x)+ax-a
0=a+b すなわち b = -a
=(x-1){(x-1)Q(x)+α}
ここで, x”−1=(x-1)(x"-1+x"-2+ ······ +1) であるから
x-1+xn-2+..+1=(x-1)Q(x)+α
この式の両辺にx=1 を代入すると 1+1+ ······ +1=α
個
b=-n
b=-αであるから
a=n
よって
ゆえに, 求める余りは
nx-n
(2) 3x100+ 2x97 +1 を x²+1 で割ったときの商をQ(x), 余りを
ax+b (a,b は実数) とすると,次の等式が成り立つ。
3x100+2x+1=(x2+1)Q(x)+ax+b
両辺にx=i を代入すると
3i100+2i07+1=ai+b
j100= (i2)50=(−1)=1, 7°= (j') i=(-1) i=i であるから
3・1+2i+1=ai+b
4+2i=b+ai
すなわち
α, b は実数であるから
したがって 求める余りは
基本 53,54
a=2, b=4
2x+4
練習
(1)
955 (2) x2+x+1をx+4で割ったときの余りを求めよ。
Ch(x-1)"+..+n C2(x-1) 2
+ Ci(x-1)+1−1
=(x-1)^{(x-1)^2+...+nC2}
nx-n
ゆえに,余りは nx-n
また, (x-α)の割り算は微
分法(第6章) を利用するのも
有効である (p.305 重要例題
194 など)。 微分法を学習す
る時期になったら,ぜひ参照
してほしい。
xiは結果的に代入し
なくてもよい。
実数係数の整式の割り算で
あるから, 余りの係数も当
然実数である。
2以上の自然数とするとき, x を (x-2)で割ったときの余りを求めよ。
p.94 EX39
91
2章
10
剰余の定理と因数定理
