本例題78 2次関数の最大 最小 (3)
は正の定数とする。定義域が0ハxMaである関数 y=x°-4x+1 の最大値およ
129
び最小値を,次の各場合について求めよ。
(2) 2Sa<4
)0<a<2
(3) a=4
(4) 4<a
基本 77
指針>定義域が0KxSaであるから, aの値の増加とともに定義域の右端が動き, 図のように,
xの変域が広がっていく。まず, 各場合のグラフをかき, 頂点と区間の両端の値を比較
して,最大·最小を判断する。
3章
軸
軸
軸
10
頂点
*区間の端
a
ーH-ト-
-H -ト -
0
0
x
0
a
x
0
a x
解答
関数の式を変形すると
検討
例題78では, a==2, 4が場合分けの
境目であるが
(1) 0<a<2のとき, 軸は区間の右
y=(x-2)°-3
関数 y=x°-4x+1のグラフは下に凸の放物線で
軸は直線x=2, 頂点は点(2, -3)である。
1) 0<a<2のとき
外。
グラフは図 [1] のようになる。
x=0 で最大値1, x=aで最小値α'-4a+1
2<aのとき,軸は区間内にあり
(2) 2<a<4のとき, 軸は区間の中
央より右にあるので, x=0 の方
が軸から遠い。
la=2のときは, 軸は区間の右端
(x=2) に重なる。
(3) a=4のとき, 軸は区間の中央
に一致するから, 軸とx=0, aと
の距離が等しい。
(4) 4<aのとき, 軸は区間の中央
より左にあるから, x=aの方が
軸から遠い。
2) 2Sa<4のとき
グラフは図[2] のようになる。
x=0 で最大値1, x=2 で最小値 -3
グラフは図 [3] のようになる。
x=0, 4 で最大値1, x=2 で最小値 -3
3) a=4のとき
4) 4<aのとき
グラフは図[4] のようになる。
*=a で最大値a'-4a+1, x=2 で最小値 -3
[3]、ツ
4y
軸
軸
軸
|a2-4a+1 最大
最大
最大]
1
a2
0
最大
1
2|
0
a2-4a+1
2
14a x
a
TT
x
0
x
0
近
Q2-4a+1
-3
最小
-3
最小
一最小
最小
O2次関数の最大·最小と決定
