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P
+c
から各
を考える。
【例題
169
不等式の証明 [2]
[頻出]
次の不等式を証明せよ。 また, 等号が成り立つのはどのようなときか。
(1)x2+y≧xy+x+y-1
(2)a0b>0, a+b=1 のとき ax2+by2≧ (ax-by)2
(1) 目標の言い換え
条件式がない
(左辺) (右辺) ≧0を示す
) 2 ≥ 0 ( )+(
Action» 2次の不等式の証明は, (左辺) (右辺) を平方完成せよ
不等式の等号成立条件は,式変形の最後の式で考える。
2 0 をつくる。
思考プロセス
符号を調べ
右辺を因数
大数の符号を
等号成立
... = (
)2 ≥ 0
... = (
)²+(
)2 ≥ 0
) ≥0
= 0 のとき
=0 かつ
= 0 のとき
= 0 または
式と証明
(左辺 (右辺)=x2+y2-xy-x-y+1
= x2 -(y+1)x + y - y + 1
= (x − x+1)²= (x + 1)² + 1
4
+y2-y+1
=(x+1)+33-6y+3+
2
y+1
4
= (x-±1)² + 3(-1)² 20
4
= 0 のとき
-
(左辺) (右辺) を xにつ
いて整理し, 平方完成す
る。
残りの項を,yについて
整理し,平方完成する。
つのは
よって
x2+y2 ≧xy+x+y-1
はx-y=
y+1
= 6 または
これは x=
かつ y = 1
である。
証明するだ
すなわち, x=v=1のとき等号成立。
A, B が実数のとき
A' + B2 ≧ 0
の等号が成立するのは,
A=B=0 のときである。
(2)a+6=1 より
b=1-a
B<C
する
a > 0, 6>0 であるから
0<a<1
C
= Cad = 100
(左辺) (右辺)=ax2+by2-(ax-by)2
=α(1-a)x2+2abxy+6(1-b)ye
=α(1-a)x2+2a (1-a)xy+ (1-a)aye
= ax + by - ax2+2abxy beye io
2000= =α(1-a)(x2+2xy + y2 )
b2 = a(1-a)(x + y)²
0<a<1より, α(1-α) > 0 であるから
a(1-a)(x+y)² ≥0
よって ax2+by2 ≧ (ax-by)2
これは,x=-yのとき等号成立。
となる実
対称性を維持して
a+b=1より
1-a=6,1-b=a
を代入し, ab(x + y) と
変形してもよい。
|α(1-4) (x+y)2において
α(1-α)>0より
x+y=0のとき等号が
成立する。
きか
