21 2点A(2, 7,0), B(5, 1, 3) について, 次の問に答えよ。
(1) 直線 AB 上の点で, 原点から最も近い点Pの座標を求めよ。
(2)(1)で求めた点Pに対して, ABLOPであることを示せ。
考え方 点Pは直線 AB 上にあるから OF =D OA+tAB となる実数tがある。
TOP|が最小になるようなtを求める。
解答(1) 点Pは直線 AB 上にあるから OP = OA +tAB となる実数tがある。
OA = (2, 7, 0)
AB = (3, -6, 3)
であるから
OF = (2, 7, 0)+ t(3, -6, 3)
= (2+3t, 7-6t, 3t)
「OF |= (2+3t)+(7-6t)+(3t)
= 54t°-72t+53
- 5(1-)+29
54t
3
2
ゆえに,t=
;のとき,「OP」は最小となる。
よって, 点Pの座標は
(2) AB = (3, -6,3), OP = (4, 3, 2) であるから
(4,3, 2)
AB·OF = 3×4+(-6)×3+3×2=0
すなわち ABI OP であるから ABLOPである。
