学年

質問の種類

数学 高校生

(2)です。偶数は2の約数を持つが奇数は2の約数を持たないでは証明できませんか?

529 例題 基本例 (1) n ((2) 120 互いに素に関する証明問題(1) 00000 は自然数とする。 n +3は6の倍数であり, n+1は8の倍数であるとき, +9は24の倍数であることを証明せよ。 任意の自然数nに対して, 連続する2つの自然数nとn+1は互いに素で あることを証明せよ。 指針 P.525 基本事項 重要 122 (1) n を用いて証明しようとしても見通しが立たない。 例題110のように,n+1, n+9がそれぞれ8, 24の倍数であることを, 別々の文字を用いて表し, nを消去す る。そして,nの代わりに用いた文字に関する条件を考える。 次のことを利用。 a,bは互いに素で, akbの倍数であるならば、 はの倍数である。 (a, b, k は整数) +1は互いに素⇔nn+1の最大公約数は nとn+1の最大公約数をg とすると n=ga, n+1=gb (a, bは互いに素) この2つの式からnを消去してg=1を導き出す。ポイントは A,Bが自然数のとき, AB=1 ならば A=B=1 ak=blならばんは の倍数はαの倍数 a,bは 1 CHART) 互いに素 ② aとbの最大公約数は1 よ。ただし 付する。 とすると 素である。 JAを果た 4 4章 ⑩約数と倍数、最大公約数と最小公倍数 (1) n+3=6k,n+1=8l(k, lは自然数) と表される。 参考 (1) +9 は, 6 の倍 数かつ8の倍数であるか 6と8の最小公倍数 である24の倍数, とし て示してもよい。 解答 n+9=(n+3)+6=6k+6=6(+1) n+9=(n+1)+8=8l+8=8(+1) よって 6(k+1)=8(+1) すなわち 3 (k+1)=4(+1) 3と4は互いに素であるから, k+1は4の倍数である。 したがって, k +1=4m (mは自然数) と表される。 <指針_ ゆえに n+9=6(k+1)=6.4m=24m したがって, n+9は24の倍数である。 (2)nn+1の最大公約数をgとすると n=ga, n+1=gb (a, b は互いに素である自然数) と表される。 n=ga をn+1=g6に代入すると ga+1=gb すなわち g (b-α)=1 の方針。 なお,3と4は互いに 素」 は重要で,この条件 がないと使えない。 答案 では必ず書くようにする。 また、このとき, 1+1は 3の倍数である。 したがって, l+1=3m と表されるから、 n+9=8・3m=24m としてもよい。 PAC 注意 練 E ② 120 g は自然数, b-α は整数であるから g=1 したがって, nとn+1の最大公約数は1であるから, nn+1は互いに素である。 (2) の内容に関連した内容を、次ページの参考で扱っている。 積が1となる自然数は1 だけである。 (1)は自然数とする。 n+5は7の倍数であり,n+7は5の倍数であるとき, (2) n+12を35で割った余りを求めよ。 nを自然数とするとき、2-1と2+1は互いに素であることを示せ (1) 中央大 (2) 広島修道大] p.535 EX83、

解決済み 回答数: 1
数学 高校生

黄色線のところが、どうしてそうなるのか分からないです。

-58 重要 例題 62 位置ベクトルと内積,なす角 00000 1辺の長さがαの正四面体 ABCD において, AB=b, AC=c, AD = d とする。 |辺AB, CD の中点をそれぞれ M, N とし, 線分 MN の中点を G, ∠AGB=0 と する。 (1) AN, AG, BGをそれぞれも,こで表せ。 (2) 「GA,GA・GBをそれぞれa を用いて表せ。 (3) cose の値を求めよ。 [類 熊本大〕 例 基本例 (1) 四面 をt: KLN (2) 座 一直 基本 53 指針 (1) 中点の位置ベクトルの利用。 (3) GA-GB=|GA||GB|cos0 ① (2)|GA|=|AG|=AG・AG, GA・GB=AG・BG (1) の結果を利用して計算。 ここで,ABN は ANBN の二等辺三 角形であることに注目すると |GA|=|GB| よって、 ① は GA・GB=|GA|cos0 となるから,(2)の結果が利用できる。 指針 (1) AN = 1½ (c+d) 解答 AG = 1/1/2 =1/12(AM+AN)=1/21/12/6+/12/2(+2)} = 1 BG=AG-AB=1(-36+c+d) (2) 16|GA|=|4AG²=(b+c+d)·(b+c+d) =161²+|cl²+làl²+2(b•c+c•à±à·b) =3a²+2×3acos60°=6a² 解答 SI M I 16GA GB=4AG.4BĠ=(b+c+d)·(−3b+c+d) よって =−3||²+|cl²+là-26-c-26 d+2c d == =-a²-2a² cos 60°=-2a² |GA|=- | GA |² = ³ ³² a², =³½³ a², GA.GB=- a² 8 (3)AM=BM, AN =BN であるから B' C |||=||=||=aから b.c=c·d=d.b SI =a² cos 60° 分数の計算を避けるため、 4AG=b+c+d, 4BG=-36+c+d として計算。 A 8 √3 AB⊥MN GA・GB=|GA||GB|cos0= |GA | cose ||AN|=|BN|= -a IGA・GB= ゆえに, |GA|=|GB | であるから 8 (2)から4/21acoso 3 1 = ゆえに cos0= 3 8 8 ( 3 == +8+8 SI IGAP=202を代入

解決済み 回答数: 1