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す
3
121 条件を満たす点の存在範囲
例題
「座標平面上で,点P(x, y) がx2+y2≦2 を満たしながら動くとき,
次の点が動く領域を図示せよ.
(1) Q(x+y,x-y)
(1) x+y=X, x-y=Y とおき, x, y を X,Yで表すことを考える
(2) x+y=X, xy=yとおき, (1)と同様に考えればよいが,そのとき, (1) と異なり、
X,Yが実数であっても x, y は実数とは限らないので, x,yが実数として存在
するための条件が必要になる.
SJCSS A
(1) x+y=X,x-y=y とおくと,
65UX330
X+Y_X-YP >>7°N 1² kurd/dsxx v
そうな
x=-2,y=
x2+y2≦2 より,
2
X+ \2
(X + Y)² + ( X = X ) ² = ²
≤2
(2) R(x+y, xy)
したがって, X2+Y2≦4
変数をx, yにおき換えて、
x² + y² ≤4
Mat
よって, 点Qが動く領域は右
H
FCO 23
の図の斜線部分で, 境界線を含む.
(2) x+y=X, xy = Y とおくと, x,yは2次方程式
f-Xt+y=0 ･････① の2つの解である。
したがって、 ①の判別式をDとすると,x,yが実数
であるためには, D≧0 でないといけない.
y=x²-1 ......3
HIMA
つまり、
=Y²=X²-1
変数をx, yにおき換えて,
160913
3 軌跡と領域 221
****
2
SELY TO
よって②③より,点Rが
動く領域は右の図の斜線部分で,
[S
境界線を含む.
20
x,yをX,Yで表す.
yI
(2x+y=4x,yを代入する.
X, Y が実数のとき, x,
も実数になる.
Q (X,Y) が動く領域
x²-(a+B)x+aß=0
X,Yが実数でも,x,
yは①の解なので実数
とは限らないことに注
つまり, D=X2-4Y≧0より, YS-X意する。X=0, Y=1
変数をx,yにおき換えて、
は下の③を満たすが,
①より,t=±えとなり,
点Pは存在しない.
y≤1x²
また、与えられた条件より,
したがって, X²-2X ≤2
2x1
図は xy平面上にかく.
C
には
α,βを解とする2次
方程式
(x+y)²-2xy≤230
2=1212-1
X, Yの式で表す.
2 x
0-0 280
座標平面上で,点P(x, y) |x|≦1,|y|≦1 を満たしながら動くとき,次の
点が動く領域を図示せよ.
CS
AJPRE
(1) Q(r+11
Son
(2) R(x+y, xy)
→p.22745
3
図形と方程式
1
