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解答編
-67
線 6x+17 ys
xy)は、
は
一法は,
22
線分 PQ の中点Mの座標を (x, y) とおくと
1
… ⑤
y=2x+k=k+1
6 AM
したがって, 点Mの座標は
(2) ⑥から
k=y-1
④に代入して
1
222 (1) 求める領域は直線 y=3x+2の上側の部
分である。
e+y... ②
したがって, 求める軌跡は
放物線y=1-
1=
24x+3y
5
6 上にあるから
4x+3y
=6
220 (1) y=2x+k... 1, y=3xx ②
とする。
① ②からyを消去して整理すると
x2-x+k=0
③
この2次方程式の判別式をDとすると
D=(-1)2-4-1.k=14k
直線 ①と放物線②が異なる2点 P, Qで交わ
るための必要十分条件は
D>0 すなわち
1-4k>0
よって、定数kの値の範囲は <12/ ....... ④
2点P,Qのx座標を α, β (α キβ) とおくと,
α, βは③の異なる2つの実数解である。
解と係数の関係から
+β=1
[2] y=0のとき②から x=5
x=
5, y=0を①に代入すると m=0
よって, 点 (5,0)は,m=0のときの2直線の
交点である。
[1], [2] から, 点Pは,原点を中心とし、半径が
5の円から点(-5,0) を除いた図形上にある。
逆に,この図形上の任意の点は, 条件を満たす。
したがって, 点Pの軌跡は
原点を中心とし, 半径が5の円
ただし,点(-5, 0) を除く
[参考] ①から第1の直
線は定点(-50) を
通り, ② から第2の
直線は定点 (50) を
通る。
また、この2直線は
垂直であるから,点
Pは2点(-5, 0),
(5,0)
直径の両端
②
y@
とする円周上にあることがわかる。 ただし, ①
は直線x=-5, ②は直線 y=0を表さないから,
点(-5,0) を除く。
数学
STEP A・B、発展問題
○ 50
第3章 図形と方程式
218 が実数全体を動くとき、 次の点(x, y) はどのような図形上にあるか。
(1) x=t+1, y= -3t+2
(2) x=2t-1,y=t-t+3
P219m が実数全体を動くとき、放物線y=x-2mx+1の頂点Pの軌跡を求めよ。
*220 直線 y=2x+k が放物線 y=3x-x と異なる2点P, Qで交わるとする。
(1) 定数の値の範囲を求めよ。 また、線分 PQ の中点Mの座標をkで表せ。
(2)の値が変化するとき、線分 PQの中点Mの軌跡を求めよ。
(92.30
よって
惷の
218
例題 22
発展問題
mが実数全体を動くとき、 次の2直線の交点Pの軌跡を求めよ。
x+my-1=0,
指針 2直線の交点の軌跡
mx-y+2m=0
→2直線の方程式からmを消去して,x,yの関係式を導く。
解答 2直線の方程式を変形して
□ 2
my=1-x ・・・・・・ ①
215
y=m(x+2) ...... ②
点Pの座標を (x,y) とすると, (x, y) は ① ② を満たす。
[1] y=0 のとき
2
すなわち
<
5
これと⑤ から, 点M は, 直線 x=
(2) 求める領域は直線y=3x+5 およびその上側
の部分である。
すなわち, [図] の斜線部分である。ただし, 境界
線を含まない。
①から
m=l-x
の部分にある。
逆に、この図形上の任意の点M (x, y) は, 条件
を満たす。
(2)
(1)
したがって, 求める軌跡は
すなわち, 〔図] の斜線部分である。 ただし, 境界
線を含む。
0
O 5
3
直線x=1/2のy< 21/2の部分
21 2直線の方程式を変形して
y=m(x+5) ..... ①
-my=x-5
②
Pのを(x, y) とすると,(x,y)は①,②
(3)不等式を変形するとy=1/2x-2
満たす。
x-5
y=0のとき、②から m=-
y
これ①に代入して
y
1-5(x+5)
よって、求める領域は直線 y=1/2x-2およびそ
の下側の部分である。
すなわち, [図] の斜線部分である。 ただし, 境界
y
これを②に代入して
x²+x+y^2=0 ...... ③
③ において y=0 とすると x=1, 2
よって, y=0 のとき, 点Pは,円 ③ から2点 (1,0), (
にある。
2 [2] y=0 のとき
①から
x=1
x = 1, y=0 を②に代入すると m=0
ゆえに, 点 (1,0)は,m=0のときの?
[1] [2] から、点Pは,点 (120)を中心
いた図形上にある。 逆に、 この図形上の
圏点 (1/20) を中心とし、半径
ゆえに
y=1-x(x+2)
y
すなわち(x+12/22+y=1/1
