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解答
00000
基本例題 115 常に成り立つ不等式 (絶対不等式)
(1) すべての実数xに対して, 2次不等式 x2+(k+3)x-k>が成り立つよう
な定数kの値の範囲を求めよ。
p.187 基本事項
(2) 任意の実数xに対して, 不等式 ax-2√3x+a+2≦0 が成り立つような定
数αの値の範囲を求めよ｡
指針左辺をf(x) としたときの, y=f(x)のグラフと関連付けて考えるとよい。
(1) f(x)=x2+(k+3)x-kとすると,
y=f(x)
すべての実数x に対してf(x)>0が成り立つのは、
y=f(x)のグラフが常に軸より上側 (y > 0) の部分)に
あるときである。
......
y=f(x)のグラフは下に凸の放物線であるから, グラフが
常にx軸より上側にあるための条件は,x軸と共有点をも
たないことである。 よって, f(x)=0の判別式をDとする
と, D<0 が条件となる。
D<0 はんについての不等式になるから,それを解いてんの値の範囲を求める。
(2) (1) と同様に解くことができるが,単に「不等式」 とあるから, a=0 の場合(2次)
不等式でない場合) と α≠0 の場合に分けて考える。
a0 の場合,αの符号によって, グラフが下に凸か上に凸かが変わるから,αにつ
いての条件も必要となる。また, 不等式の左辺の値は0になってもよいから、グラ
フがx軸に接する場合も条件を満たすことに注意する。
00 [1]
CHART 不等式が常に成り立つ条件 グラフと関連付けて考える
C+01==1 -- (-)-(
(1) f(x)=x2+(k+3)x-kとすると, y=f(x)のグラフ |
は下に凸の放物線である。
よって すべての実数xに対してf(x) > 0 が成り立つた
めの条件は,y=f(x)のグラフが常にx軸より上側にあ
る,すなわち, y=f(x) のグラフがx軸と共有点をもた
ないことである。 632300=(0-sts) (1) 1050=0
ゆえに,2次方程式f(x)=0 の判別式をDとすると, 求
める条件は
D<005 (8-1
[D=(k+3)²-4•1•(-k)=k²+10k+9
=(k+9) (k+1) (0 m>@_t>s
であるから, D<0より
(k+9) (k+1)<0
-9<k <-1
O
x
f(x)の値が常に正
よって
(2)a=0のとき,不等式は-2√3x+2≦0 となり,
例えばx=0のとき成り立たない。
f(x)のx2の係数は正で
あるから、下に凸。
指針
★ の方針｡
不等式が成り立つ条件を
y=f(x)のグラフの条件
に言い換えて考える。
if(x) >075
D>0
とすると誤り!
D<0 の "<" は, グラフ
がx軸と共有点をもた
ないための条件である。
<a=0のとき、左辺は 2
次式でない。
α ≠ 0 のと
y=f(x)
よって,
の条件
x軸と
ある。
ゆえに
める条
検討
であ
3.1
よっ
[補足] この仮
対不
105
a<
不等
この
2次
検討
[PLUS
ONE
る
練習
② 115
