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重要例題
1/33/3文字の不等式の証明
次の不等式を証明せよ。 また, 等号が成り立つのはどのようなときか。
a²+b²+c²≥ab+bc+ca
CHART O OLUTION
2次の不等式の証明 (実数) 2≧0 を利用 ････
解答
a,b,cが実数であるとき, a≧0,d'+b≧0,a+b2+c^2≧0 が成り立つ。
また, (実数)=0 となるのは,その実数が0のときに限られる。
別解 のように,x-2xy+y²=(x-y)^ を使えるように式変形し、 証明する方法
もある。 自力で思いつくのは難しいので, この解法は覚えておこう。
2次式の場合は、まず差を作って, 1文字について平方完成し,残りの文字につ
いて平方完成することにより(2+ ( )の形に変形する。
(a²+b²+c²)-(ab+bc+ca)
=a²-(b+c)a+b2-bc+c2
-(a-b+c)²-(b + c)²+b³-bc+c²
2
3
6
3
= ( a - b + c)² + ³ p ² = $b c + ³/ c²
2
4
4
4
3
- (a - b + c)² + ²³² (0²-2bc+c²)
2
b+c
3
= (a − b + c)² + ³² (b-c)² ≥ 0
4
a+b2+c2≧ab+bc+ca
よって
b+c
等号が成り立つのは,α=- 2
かつ b = c すなわち
a=b=cのときである。
SU (a²+b²+c²)-(ab+bc+ca)
例題
1
x y
1つは 0
+
+
CHART
証
解
■αについての2次式
みて、 基本形に変形。
1402, (0-9) 1/2
