195 文字係数の方程式の実数解の個数 (2)
本 例題
00000
3次方程式x3ax+2=0) が実数解をただ1つもつように,定数aの値の
範囲を定めよ。 ただし,α>0とする。
[類 津田塾大]
基本 194
OLUTION
CHART
3+2
2と変形してもy=
のグラフは数学Ⅲの知識がないとかけない。
3x
3x
よって, y=x-3ax+2のグラフとx軸の共有点の個数を調べる。 ・・・・・・!
f(x)=x-3ax+2 とするとき, y=f(x)のグラフとx軸の共有点が1個となる条件を
考えればよい。
f(x)=3x-3a=3(x2-a)=3(x+√a)(x-√a)
x= -√a, √a
f(x)=0 とすると
x
a
va
増減表は右のようになるから、f(x) の
f'(x) +
0
f(-√a)=2√a +2,
0
極大値は
極小値は
f(x) 極大
f(√a) =-2a√a +2
✓ 極小
y=f(x)のグラフとx軸の共有点が1個である条件は
f(a)
となることである。
(d)>0であるから, f(√a) > 0 となればよい。
極小
-2a+a+2>0 から
ava < 1 すなわち α<1
>0 であるから
0<a<1
-√a
INFORMATION 3次方程式 f(x)=0 の実数解の個数と極値
(f(x) の3次の係数が正の場合)
[1] 実数解が1個のとき
[2] 実数解が2個
[3] 実数解が
極値がともに正か負,
のとき
3個のとき
または極値なし。
極値の一方が 0
極値が異符号
Ni fin si Nish ph
x
a
B x
a B
α
f(a) f(B)>0
f(a) f(B)=0
f(x)f(B)<0
極大
293
x
