ケまや
例題
ai=2, an+1=
an
で定義される数列 {an} の一般項を
2an+1
20
推定し,それが正しいことを数学的帰納法によって証明せよ。
5
証明
ai=2 より,
2
2
a2=
2.2+1
5
0<I+aDS 00<
2
2
9
1。0<S=
2
5
さらに,
A3=
2
女であ
A4=
2
KO2·
2
9'
13
2.
+1
5
+1
9
DS
これより,an は次のようになると推定される。
2
an=
4n-3
10
のが正しいことを,数学的帰納法で証明する。
(I) a=2 より, ①は n=1のとき成り立つ。
(I) n=kのとき①が成り立つ,すなわち,
T+3
2
1)
ak=
4k-3
J用
と仮定する。n=k+1 のとき,与えられた漸化式より,
2
4k-3
仮定
ar
15
ak+1=
ニ
数
2ak+1
2…
2
2
ak=
のと
+1
44-3 を利用
4k-3
2
2
4+(4k-3)4(k+1)-3
よって, n=k+1 のときも①が成り立つ。 S
D (1), (Ⅱ)より, ①はすべての自然数nについて成り立つ。
%D