Question

IK

この問題の、下の方に書いた矢印の部分について質問です。
なぜn=k+1の時なのに、与えられた漸化式のnにkを代入しているのですか？

ケまや
例題
ai=2, an+1=
an
で定義される数列 {an} の一般項を
2an+1
20
推定し,それが正しいことを数学的帰納法によって証明せよ。
5
証明
ai=2 より,
2
2
a2=
2.2+1
5
0<I+aDS 00<
2
2
9
1。0<S=
2
5
さらに,
A3=
2
女であ
A4=
2
KO2·
2
9'
13
2.
+1
5
+1
9
DS
これより,an は次のようになると推定される。
2
an=
4n-3
10
のが正しいことを,数学的帰納法で証明する。
(I) a=2 より, ①は n=1のとき成り立つ。
(I) n=kのとき①が成り立つ,すなわち,
T+3
2
1)
ak=
4k-3
J用
と仮定する。n=k+1 のとき,与えられた漸化式より,
2
4k-3
仮定
ar
15
ak+1=
ニ
数
2ak+1
2…
2
2
ak=
のと
+1
44-3 を利用
4k-3
2
2
4+(4k-3)4(k+1)-3
よって, n=k+1 のときも①が成り立つ。 S
D (1), (Ⅱ)より, ①はすべての自然数nについて成り立つ。
%D

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

HS

n=k+1のときも①が成り立つことを示す。
つまりa[k+1] = 2/(4(k+1)-3)を示す。

与えられた漸化式に(a[k+1]をつくるために)
n=kを代入して
a[k+1] = a[k]/(2a[k]+1) = …

ということです。
n=k+1のとき漸化式より
が
n=k+1を漸化式に入れて
ということではないということです。

IK

①がn=k+1の時にも成り立つ事を言いたいから与えられた漸化式を上手く利用するという事でしょうか？

HS

そうですね。単に
　与えられた漸化式でn=kとすれば
　a[k+1]ができるからn=kとする
だけです。

IK

分かりました！ありがとうございました！