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重要 例題 91 4次関数の最大・最小
2-1≦x≦2のとき, 関数y=(x-2x-1) -6(x²-2x-1)+5の最大値 最小
関数y=x4-6x2+10の最小値を求めよ。
[(2)類 名城大]
値を求めよ。
指針
4次関数の問題であるが, おき換え を利用することにより, 2次関数の最大・最小の
問題に帰着できる。 なお, = t などとおき換えたときは,tの変域に要注意!
(2) 繰り返し出てくる式x-2x-1 を =t とおく。 -1≦x≦2における x2-2x-1の
値域がtの変域になる。
CHART 変数のおき換え 変域が変わることに注意
解答
(1) x2=t とおくと t≧0
yをtの式で表すと
y=t2-6t+10=(t-3)²+1
t≧0の範囲において, y は t=3の
とき最小となる。
このとき x=±√3
よってx=±√3のとき最小値1
(2) x2-2x-1=tとおくと
t=(x-1)-2
-1≦x≦2から
-2≤t≤2
yをtの式で表すと
y=t-6t+5=(t-3)²-4
[10]
1
0
最大
3
t
-2
-11
ly=t2-6t+10
最小
01 2
① の範囲において,yは
t=-2で最大値 21,
t=2で最小値-3 をとる。
t=-2のとき (x-1)-2=-2 最大21
ゆえに
(x-1)²=0
よって
x=1
t=2のとき
(x-1)²-2=2
ゆえに
(x-1)^=4
よって
x=-1,3
-1≦x≦2 を満たす解はx=-1
以上からx=1のとき最大値21,
x=-1のとき最小値-3
15
_2013
2
最小
2=7
最小
基本80
x
1 (実数)' ≧0
このかくれた条件に注
<y=(x2)"-6x²+10
tの2次式 → 基本形
t t=3 つまりx2=3を解
くと
x=± √3
t=x2-2x-1
(-1≦x≦2) のグラフカ
らtの変域を判断。
(x-1)²4から
x-1=±2
この確認を忘れずに。
