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O000
基本 例題80 2次関数の最大.最小(5)
aを定数とする。asxSa+2における関数f(x)=x-2x+2について、次o
のを求めよ。
(2) 最小値
(1) 最大値
十軸/
指針> この問題では, 区間の
幅は2で一定であるが,
aの増加とともに区間
全体が右に移動するか
区間が
動く
区間が
動くの
中央
角の左
ら,軸x=1 と区間
x=a x=a+2
x=a X=0-
x=a x=a+2
aSxSa+2 の位置関
員大量
係を調べる。
0
(1)最大値 関数 y=f(x) のグラフは下に凸であるから, 軸から遠いほどyの値は大き
い。よって,区間の両端 (x=a, x=a+2) と軸までの距離が等しいときのaの値が
K合分けの境目となる。
(2)最小値 グラフは下に凸であるから, 軸が区間に含まれるときと含まれないとき,夏
に含まれないときは区間の右外か左外かで場合分けをする。…
図)
解答
f(x)=x?-2x+2=(x-1)°+1
ソ=f(x) のグラフは下に凸の放物線で, 軸は直線x=1
(1) 区間 a<xSa+2の中央の値は a+1
[1] a+1<1すなわち a<0 のとき
右のグラフから, x=aで最大と
ata+2_
ニ=a+1
2
軸
中の
最大
(軸が区間の中央x=a+1
より右にあるので、x=a
の方が軸から遠い。
よって f(a)>f(a+2)
なる。
最大値は f(a)=a°-2a+2
x=a
x=a+1 x=1
Ix=a+2
[2] a+1=1 すなわちa=0のとき
右のグラフから, x=0, 2 で最大
軸
(軸が区間の中央x=a+1
に一致するから、軸と
x=a, a+2との距離が等
しい。 小島
よってf(a)=f(a+2)
となる。
最大ート--ー最大
最大値は f(0)=f(2)=2
x=0 x=1 x=2
[3] a+1>1すなわち a>0のとき
右のグラフから, x=a+2 で最大
軸が区間の中央x=a+l
より左にあるので、
=a+2 の方が軸から遠い。
よって f(a)<f(a+2)
となる。
最大
最大値は
f(a+2)=(a+2)°ー2(a+2)+2
=a+2a+2
|x=a+2
xーal A
x=1 =a+1
以上から
a<0のとき
a=0のとき x=0, 2 で最大値2
a>0のとき r=a+2で最大値 α'+2a+2
=aで最大値α'-2a+2