Question

うゆ

この最大値の方なんですが、定義域で考えずに端で考えたら答えはあってたんですがダメですかね？

O000
基本 例題80 2次関数の最大.最小(5)
aを定数とする。asxSa+2における関数f(x)=x-2x+2について、次o
のを求めよ。
(2) 最小値
(1) 最大値
十軸/
指針> この問題では, 区間の
幅は2で一定であるが,
aの増加とともに区間
全体が右に移動するか
区間が
動く
区間が
動くの
中央
角の左
ら,軸x=1 と区間
x=a x=a+2
x=a X=0-
x=a x=a+2
aSxSa+2 の位置関
員大量
係を調べる。
0
(1)最大値 関数 y=f(x) のグラフは下に凸であるから, 軸から遠いほどyの値は大き
い。よって,区間の両端 (x=a, x=a+2) と軸までの距離が等しいときのaの値が
K合分けの境目となる。
(2)最小値 グラフは下に凸であるから, 軸が区間に含まれるときと含まれないとき,夏
に含まれないときは区間の右外か左外かで場合分けをする。…
図)
解答
f(x)=x?-2x+2=(x-1)°+1
ソ=f(x) のグラフは下に凸の放物線で, 軸は直線x=1
(1) 区間 a<xSa+2の中央の値は a+1
[1] a+1<1すなわち a<0 のとき
右のグラフから, x=aで最大と
ata+2_
ニ=a+1
2
軸
中の
最大
(軸が区間の中央x=a+1
より右にあるので、x=a
の方が軸から遠い。
よって f(a)>f(a+2)
なる。
最大値は f(a)=a°-2a+2
x=a
x=a+1 x=1
Ix=a+2
[2] a+1=1 すなわちa=0のとき
右のグラフから, x=0, 2 で最大
軸
(軸が区間の中央x=a+1
に一致するから、軸と
x=a, a+2との距離が等
しい。 小島
よってf(a)=f(a+2)
となる。
最大ート--ー最大
最大値は f(0)=f(2)=2
x=0 x=1 x=2
[3] a+1>1すなわち a>0のとき
右のグラフから, x=a+2 で最大
軸が区間の中央x=a+l
より左にあるので、
=a+2 の方が軸から遠い。
よって f(a)<f(a+2)
となる。
最大
最大値は
f(a+2)=(a+2)°ー2(a+2)+2
=a+2a+2
|x=a+2
xーal A
x=1 =a+1
以上から
a<0のとき
a=0のとき x=0, 2 で最大値2
a>0のとき r=a+2で最大値 α'+2a+2
=aで最大値α'-2a+2

Answer 1

eratos2357

軸の場合分けができていれば、合っています。

うゆ

でもどっちかっていうと定義域の真ん中で分けた方が確実ですか？

eratos2357

軸の位置で最大値が変わるので、定義域の真ん中で分けた方が確実です。

うゆ

ですよね！
ありがとうございます🥰