(2)の赤で丸で囲った所ってどうやったらでてくるのですか？

基本 6.7 照。 の偏角のこと の2通り D 1+i 重要 例題 9 極形式の利用(2) ….. 1 (1) Q=- (1+i) とするとき, at i の偏角8 (0≦0<2x) を求めよ。 √2 (2) α+iの絶対値に注目することにより,cos の値を求めよ。 練習 9 指針 (1) a+i= 解答 =1/1/2+(1/2+1) であるが,これをか20 基本例題6と同じようにして極形式 で表すことは難しい。そこで,a=costisina i=cos- sisin に注目すると 絶対値ともに1である。 a+i=(cos +cos os)+i(sin+sin) ここで、三角関数の和→積の公式を利用するとうまくいく。 cos A+cos B=2 cos A+B A-B 2 sin A+sin B=2sin 2 (2) α+は極形式, a+biの形の2通りに表される。 その絶対値を等しいとおく。 3 = 2 cos cos TT COS 8 ・三角関数の公式が関連 (1) a=cosaisinz icos tisin から 7/2 a+i-(cos+isin)+(cos+isin) =(cos+cos)+(sin+sin) π !! cos+cos4=2 cos(( = + =)) cos({ / ( = -4 )} 2 cos a+i=2 cos π 8 π π 8 sin / + sin=2sin{/12(+4)cos/2/2(-4)} 3 =2sing a cos であるから π 8 (cos+isin) ① π 2cos > から ① が α+iの極形式で、偏角は Taat 12 (2) a+i=- . 8 8T //(1+0)+i // (P+(1+√2)) であるから i= /2 2 |a+il= /12+(1+√2)^2=√2+√2 O A+B 2 ✓ ya 基本6 cos₁ √√2 (1) から latil=2cosmo よって、 2cost =√2+√2 から co (1)a=1/12 (√3+1) とするとき α-1を極形式で表せ。 5 (2) (1) の結果を利用して, COS 12 πの値を求めよ。 SA-B COS 別解 図で考える。 ya 01 cos 1 Lati PH+i 1 √2 0₁1 0 a 23 1 11 18 201+1=101から0.=1 求める偏角は 4 +0=12123 <極形式 r(cos Otisine)では, > 0 となる必要がある。 このことを確認している /2+√2 2 Op.28 EX

なぜ実数解をrとおくのでしょうか？ xのまま計算にはいるのはダメなのでしょうか？？

第2章 高次方程式 **** 例題 42 係数に虚数を含む2次方程式の解 xの2次方程式(1+i)x2+(a-i)x+2(1-ai) = 0 が実数解をもつとき、 実数の定数aの値を求めよ.また,そのときの解をすべて求めよ. (慶應義塾大) 考え方 係数に虚数を含むので、判別式は使えない. 実数解をrとすると,もとの2次方程式は, (1+i)r²+(a − i)r +2(1-ai)=0 この左辺を A+ Bi=0 (A,Bは実数) の形に変形すれば A=0, B=0 である. (p.81 「複素数の相等」参照) 解答 この2次方程式の実数解を x=y とすると, ________________(1+i)r²+(a − i)r +2(1—ai)=0 30 (2²+ar+2)+(r²-r-2a) i=0$04 r, a は実数だから, Fod r2+ar +2=0 ………① r²-r-2a=0 ①② より (a+1)r +2(1+a)=0 (a+1)(r+2)=0 •2 Its =(8+)-1- したがって, (i)a+1=0 つまり, a = -1 のとき ① に代入すると, r2-r+2=0 ここで, 判別式 D=(-1)2-4・1・2=-7<0 rは実数であるから,不適 (ii) +2=0 つまり,r=-2のとき ①に代入すると これは②も満たす このとき, 与式は, a +1 = 0 または r+2=0 したがって, よって, (i), (ii) より, (1+i)x²+(3-i)x+2(1-3i)=0 (x+2){(1+i)x+(1-3i)}=0 x=-2, 1+2i ESA0 a=3, そのときの解 x = -2, 1+2i 100 + 4-2a+2=0 より,ca=3 <複素数の相等> A,Bが実数のとき バ A+ Bi=0 ⇔ A=0, B=0 実部と虚部に分ける. r²+ar+2, r²-r-2a は実数 a b が実数のとき, a+bi=0 ⇔a=0,b=0 a との連立方程式 r2 を消去して次数を下げ 実際に解くと, [~_=1±√7i それぞれの場合について、 もとに戻って調べる. r=-2 つまり 左辺は x+2を因数にもつ. 2 (1+i)x+(1-3i)=0 (1+i)x=-1+3i |-1+3i=1+2i x=- LI

35.2 右辺の数も全部左辺に持ってきて計算しても良いですよね？

64 基本例題 35 複素数の相等条件 次の等式を満たす実数x,yの値を,それぞれ求めよ。 (1) (4+2i)x+(1+4i)y+7=0 指針 複素数の相等条件を利用する。 すなわち, a b c d が実数のとき, a+bi=c+di⇔a=c, b=d b=de 解答 (1) 等式を変形すると CHART 複素数の相等 実部,虚部を比較 特に a+bi=0 ⇔a=06=0 (2) 左辺を展開し,両辺の実部,虚部を比較して x,yを求めてもよいが ここでは x+2yi= と変形して,右辺をa+bi の形に直す。 3-2i 1+i (1+i) (1) よって 4x+y+7+2(x+2y)i=0 <iについて x, y は実数であるから, 4x+y+7と2(x+2y) も実数である。 この断り書 よって ② 4x+y+7=0 ①,②を連立して解くと ①, x+2y=0 x=-2, y=1 (実部) = 0, (2)等式の両辺を 1+iで割ると x+2yi= (3-2i)(1-i) 3-5i+21² 1-² = x 2y は実数であるから 3-2i 1+i 1 であるからx+2yi= 2 x= 2' ...... 5 2 (2) (x+2yi)(1+i)=3-2₁ p.62 = ...... 検討 実数であることの断り書き ( 解答の 3-2i 1+i 3-5i-2 1+1 x=1/12.2y= 5 2 514 00 a+biz 実部 どう 虚部どう 1/1/7-5/21 (tar) -12-10-0 別解 (2)左 x-2y+( x-2y, x+ るから |x-2y=3 よってx=

ボード線図の位相特性についての質問です。 ボード線図の書き方がよく分かりません。 問2の回路におけるボード線図を各問題なのですがφ(ω)のところからarctanのを3つ足し引きした式が出てくるた思います。 この式からボード線図を描く場合、-180°を基準に考え、ω＝ωc1の... 続きを読む

(問2)図2の回路のボード線図を折線近似で描け.つまり電圧利得の周波数特性|G(jω) を、周波数を対数 目盛にして書き、その下に位相特性Φ(ω)を描く.ただし電圧利得|G(jω)|は20log10|Ay|= 20log1o あり、 位相 (③) は伝達関数G(jω ) の実部 Re と虚部Imから (①) = tan-1 である, ここで、 1 1 2m (R1+R2)Cc 2πRLCL として、二つの周波数は3桁離れていることとする. Cc R₁ Im Im Re. << 図 2 infomanspan for R2 Vi ④gmvi ≧RL CL で

この答えを5/13i－1/13のように書く順番を変えてしまったら間違いですか？

=0 +2i² - 1² 10i-2 26 1 5 + 13 13

54の(2)なのですが、(1)のように解こうとするとiが邪魔で計算ができなくなってしまって… やり方を教えてください

[解] これよりx-y=2 ① ①+② より x=0 3 ③を①に代入してy=-2 よってx=0, y=-2 x+y=-2 53 次の等式を満たす実数x,yの値を求めよ。 □ (1) x+yi=0 (3) x+yi=1 □ (2) x-yi=i □ガイド (2)-(y+1) i=0と変形し,a+bi=0⇔a=b=0 を利用。 54 次の等式を満たす実数x,yの値を求めよ。 テスト必出] (1) (2x+2y-3)i+(5x-y-7)=0 (2) (2x+yi)+(x-2yi)=10-30i

四角で囲んだところってαが1の5乗根だからα≠1ということですか？

34 重要 例題 201の5乗根の利用動 複素数 α (α≠1) を1の5乗根とする。 300 s s (1) α*+α°+α°+α+1=0 であることを示せ。 (2)(1) を利用して,t=α+α は f2+t-1=0 を満たすことを示せ。 (3) (2) を利用して, cos 2/2 の値を求めよ。 CHART O 1の5乗根 α α=1 を満たす解 (1) 因数分解 x-1=(x-1)(xn-1+xn-2+.....+x+1) を利用。 (2) α=1のとき, ||=1⇔ ||=1⇔ ||=1 (|| は実数) |a|=1 のとき aa=11 (3) α=1の1つの虚数解を α = cos 1/23 x + isin 1/23 解答 (1) α=1から よって αキ1 であるから OLUTION (a-1)(a¹ +a³+a²+a+1)=0 a¹ + a² + a² +a+1=0 a5-1=0 (2) α=1 から |a5=1 ゆえに |a| = 1 すなわち aa=1 したがって, t=α+α から =a²+2+ 2+1/3+ a + ²²-1= Q a tº²+1−1=(a+@)²+(a+a)—1=(a+¹)²+(a+¹)−1 aª+a³+a²+a+1¸ a² t>0 であるから ゆえに よって |a|=1 よって 2 a=cos πisin 15π, t=a+α 1²5 (2) から, t2+t-1=0であるから (3) acosm232x+isin 1/23 とすると12/3であるから αは α=1, α=1 を満たす。 /2 05/317-4 1.5 -=0 -1+√5 4 t=2co$ 2 t=2 cos- ²/² x= -1+√5 Q= とおいてみる。 ・・・・・・!! 2 2 COS T= 5' 2+isin PRACTICE・･･ 20 ④ 複素数α を α=cOS 4 7 (1) °+α+α^+α² + α²+αの値を求めよ。 (2) t=α+α とおくとき, f+f2-2tの値を求めよ。 a 2π 7 [類 金沢大 別解 (1) α≠1 より等 数列の和の公式から 1+a+a²+a³ + a² 1-1-1 とおく。 5 t=-1±√1²-4・1・(-1)-1±√5 1-a 1-a aa = |a|2 -=0 (1) より α*+α²+α²+α+1 = 0 11/23ntisin 1/3は -isin=π 1の5乗根の1つ。 α+α=2x(αの実部) 2 01 x GOST 12 [ 九州大 13 (3) で

⑷解説の一つ一つは何をしているかわかるんですけど、全体的な流れというか繋がりというかどうしてそういう方法でやったのかよくわかりません

a,bを実数の定数とする. xの3次式 と, 3次方程式 f(x)=x3+(a+3)x2+(3a+b)x+36 3x²+ax+32²+30x+bx+36 2ax+6x+3a+b f(x)=0 がある. (1) f(-3)を求めよ. 0 (2)a=-1 かつ b=1のとき, (*) を解け . --3 1+134 2-1 (3) (*) が異なる2つの虚数解をもつための a b の条件を求めよ. ~ (*) ② a,bが (3) で求めた条件を満たすとし, (*) の異なる2つの虚数解を α, β とする. このとき,d2, B2 がともに(*)の解となるようなa, b の値の組(a, b) をすべて求 めよ.

黄色線のところが分かりません。何故実数だからと言ってイコール0にするんですか？

例題 M14 実数係数の 3次方程式x+ax2+bx+10=0の1つの解が1-2i であるとき a b の値を求めよ. 【解答】 2.4 x³ + ax²+bx+10=0. D. >&±1 = -0 (解1) ① にx=1-2i を代入して整理すると, -3a+b-1+(-4a-2b+2) i = 0. ここで, a,b は実数であるから, -3a+b-1,-4a-26+2も実数である. よって, -3a+b1=0かつ-4a-26+2=0. これを解いて、 a = 0, b=1. (解2) ① は実数係数の3次方程式であるから, 1-2iが解であるとき 1+2iも解であり,① の3つ の解は1−2i, 1 + 2i, r (r は実数)と表せる. このとき, 解と係数の関係により, (1−2i) + (1+2i) +r=2+r = -a, よって, (1-2i)(1+2i)+(1+2i)r+r(1-2i)=2r+5=b, (1−2i) (1+2i)r=5r= -10. r=-2となり,α = 0,6=1. (解3) ① は実数係数の 3次方程式であるから, 1-2i が解であるとき 1+2iも解である. (1+2i)+(1-2i) = 2, (1+2i)(1-2i) = 5 より, 1+2i, 1-2i を解にもつxの2次方程式の1つは, x2-2x+5=0 であるから, x+ax2 +bx + 10 は x ²-2x+5で割り切れる. x 3 + ax2 + bx + 10 を x²-2x+5で割ると, 0=1+xt 商 余り (2a+b-1)x-5a であるから、条件は、(余り)=0より x+a+2, 2a+6-1=0, -5a=0. x(1)) ･･･ (答) P₁ Ja=0, b = 1. ･ 01+x=1.933 #10,301-=1,Jel 37 ･･･(答)

複素数の四角形が円に内接する条件についての問題です。 ピンクマーカーで囲った部分の説明がわからないです。

例題 演習 4点A(α),B(B),C(y), D (8) を頂点とする四角形 ABCD について,次の ことを証明せよ。 POCO a-r a-8 4点A(7+i), B(1+i), C(-6), D(8) を頂点とする四角形 ABCD は, 円に 内接することを示せ。 基本 120 10 解答 S 四角形 ABCD が円に内接する⇔ B-Y÷B-6 ->0 02 (1) 四角形ABCD が円に内接する∠ACB=∠ADB ① (円周角の定理とその逆) を利用。①から,偏角 arg の等式にもち込むが、解答の図からわかるように,頂点 A,B,C,D のとり方が時計回りか反時計回りかに関係なく, B-8 a- - 8 arg B-Y. a-r (1) 四角形 ABCD が円に内接する ⇔∠ACB=∠ADB B-Y a-r B-Y arg =arg- = arg ⇔ arg ゆえにB-Y ⇔arg Sa-Y が成り立つことに注意。 ・argi a-r a B-YB-8 B-8 a- B-8 a-d -y B-r B-8 =0 =0 -適角がO!! K ->0 241-9-y a-d したがって,題意は示された。 0121 2連部はか 実部は④ (7+i)-(-6i) A1+7i -1+i_-8-6i = A(a) = nie's (2) α=7+i, β=1+i, y=-6i, 8=8とすると B-YB-6_(1+i)−(−6i) . (1+i)-80 = (1- (− a-8 (7+i)-8 B(B) 頂点は反時計回り D ( 8 ) -2(4+3i) -14(4+3i) 17/12 —— C(r) D(8) >O = した7+77+i -56-42i したがって, (1) から, 四角形 ABCD は円に内接する。 A(a), B(β) 頂点は時計回り C(y) argz=0⇔ z=r(cos 0+isin0) =r>0 ① (1), (2) の問題 結果を利用 正の実数。 3章 3 19 関連発展問題 16