Question

ℎ

黄色線のところが分かりません。何故実数だからと言ってイコール0にするんですか？

例題
M14
実数係数の 3次方程式x+ax2+bx+10=0の1つの解が1-2i であるとき
a b の値を求めよ.
【解答】
2.4
x³ + ax²+bx+10=0. D. >&±1 = -0
(解1) ① にx=1-2i を代入して整理すると,
-3a+b-1+(-4a-2b+2) i = 0.
ここで, a,b は実数であるから, -3a+b-1,-4a-26+2も実数である.
よって, -3a+b1=0かつ-4a-26+2=0. これを解いて、
a = 0, b=1.
(解2)
① は実数係数の3次方程式であるから, 1-2iが解であるとき 1+2iも解であり,① の3つ
の解は1−2i, 1 + 2i, r (r は実数)と表せる.
このとき, 解と係数の関係により,
(1−2i) + (1+2i) +r=2+r = -a,
よって,
(1-2i)(1+2i)+(1+2i)r+r(1-2i)=2r+5=b,
(1−2i) (1+2i)r=5r= -10.
r=-2となり,α = 0,6=1.
(解3) ① は実数係数の 3次方程式であるから, 1-2i が解であるとき 1+2iも解である.
(1+2i)+(1-2i) = 2, (1+2i)(1-2i) = 5
より, 1+2i, 1-2i を解にもつxの2次方程式の1つは,
x2-2x+5=0
であるから, x+ax2 +bx + 10 は x ²-2x+5で割り切れる.
x 3 + ax2 + bx + 10 を x²-2x+5で割ると,
0=1+xt
商
余り (2a+b-1)x-5a
であるから、条件は、(余り)=0より
x+a+2,
2a+6-1=0,
-5a=0.
x(1))
･･･ (答)
P₁ Ja=0,
b = 1.
･
01+x=1.933
#10,301-=1,Jel
37
･･･(答)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

かきつばた

a+bi=0でa,bが実数の時、a=b=0となるという性質を使ってる。
証明はa=-bi b≠0とする
i=-a/bとなり右辺は複素数、右辺は有理数となり
複素数は有理数じゃないから左辺≠右辺よってb=0
したがってb=0

ℎ

ありがとうございました😊🎶

Answer 2

Mogi

黄色線の二行上の式を見てください。
虚数の性質より実部と虚部は分けて計算しますので、(左辺)=0が成り立つとき、(実部)=0かつ(虚部)=0が成り立ちます。
一行上の「〜実数である。」は実部と虚部の項が実数で表されるという確認であるため、直接的な関係はありません。

ℎ

ありがとうございました😊