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基礎問
256 第9章 整数の性質
153 ガウス記号(I)
実数xに対して,rを超えない最大の整数を [x]で表すとき、
次の問いに答えよ.
(1)[√2][-] を整数で表せ.
(2) [x] =2 をみたすxの値の範囲を求めよ.
(3)−2≦x≦2において, y= [x] のグラフをかけ.
(4) y=[x](−2≦x≦2) のグラフと直線 y=x+k が共有点を
もつようなんの値の範囲を求めよ.
精講
I. [x] は数直線上で, xのすぐ左側にある整数を表します. もし
が整数であれば, [x] = x です.
II. [x] は,次の性質をもっています.
[x]=n (n: 整数) のとき, n≦x<n+1
(3)n≦x<n+1
[x]=
[x]=nだから
-2 (-2≤x<-1)
-1 (-1≤x<0)
0 (0≤x<1)
1 (1≦x<2)
2 (x=2)
よって, グラフは右図のようになる.
(4)y=x+kは傾き1, y切片んの直線を表す
455
-1
0
2 x
yy=x-
ので、この直線が(3)のグラフと共有点をもつ
-2-1 0
人 12
-1 y=x-1
のは,右図より
-1<k≤0
各線分の右端は白丸,すなわち, 含まれて
いません.したがって, y=x-1 は y= [x]
(−2≦x≦2) のグラフとは, 共有点をもたないことになります。
y=[2.x] のグラフは, どこで場合を分けたらよいでしょうか?
この不等式から, nを消去すれば,
[x]≦x<[x]+1 あるいは x-1<[x]≦x
となります. この2つの不等式の活用がポイントです.
Ⅲ.もし,xが正の数ならば, [x] はxの小数点以下を切り捨てたものを意味
します。 10
参考
n≦2x<n+1(n:整数) のとき,すなわち,
のとき [2x]=nであることから, xの小数部分が0か0.5のときを境
目にして分けることになりそうです. すなわち,
n
n+1
2
m≦x<m+
1
(m:整数) のとき,2m≦2x<2m+1 より [2x] =2m
1
2
m+2≦x<m+1のとき,2m+1≦2x<2m+2 より [2x]=2m+1
を利用することになります.
このあとは、演習問題 153で確かめてください.
ポイント
[x]≦x<[x]+1, x-1<[r]≦x
(1) 1<√22 だから,
[√2]=1
-4<- <-3 だから, [-π] = -4
-3ではない
注 数直線で考えれば,次のようになります.
[-]-
√2
[√2]
すぐ左側にある整数
演習問題 153
-4 -3-2-1 012
X
(2) [x]≦x<[x]+1 だから, 2≦x<3
次の問いに答えよ.
注 x>0であれば,[x] はの小数点以下を切り捨てることを表しま
す. だから, 2≦x<3
| (1) y=[2] (-1≦x≦2) のグラフをかけ.
(2)(1)のグラフとy=2x+k が共有点をもつようなkの値の範囲
