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重要 例題111 2直線の父
mが実数全体を動くとき, 次の2直線の交点Pはどんな図形を描くか、
指針>交点Pの座標を求めようと考え, 0, ② をx, yの連立方程式とみて解くと
検討軌跡の逆の確認と除外点について
画例題111の解答で得られた軌跡の方程式 (x-1)?+
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x+my-m-230
2
(*)から, ①, ②
mx-y=0… の
を導いてみよう。
ここで,(*)は x*+y-2x-y=0 …
3 と同値である。
m(m+2)
ソ=
m+1
ーのから y=mx
m+2
オ+ゾ-2-2=0
これをのに代。
x x
オー
この2式から mを消去してx, yの関係式を求めようとする上
そこで、交点Pが存在するための条件を考えてみよう。
計算が大変。
l xキ0のとき, ③の両辺をxで割ると
のとおくと x+my-m-2=0 となり, ② の式が得られる。
mの値を1つ定めると, 2直線①, ②が決まり,2直線 ①, ② の交点Pが定まる。
また,のから mx-y=0 となり,①の式が得られる。
以上のことと解答の[1] から, xキ0のとき(Oかつ2)→ (*) が成り立つ。
[2] x=0 のとき, ③ から
ゆえに,x=0 のとき (*) ←→(x, y)=(0, 0) または(x, y)=(0, 1)
ここで,(x, y)=(0, 0) のとき, 2から
(x, y)=(0, 1)のとき, ① が成り立たず,② から m の値を定めることもできない。
よって,(x, y)= (0, 0) → m=-2 → (① かつ 2)であるが、
2=m
x
m=0のとき x=2, y=0
m=1のとき
3
X=
これを解くと
y=0, 1
例えば
yーy=0
2,=3
2
であるから,点(2, 0), (,)は求める図形上にある。これを逆の視点で発え
2直線0, 2の交点Pが存在するならば、①,② をともに満たす実数 m 竹
ゆえに,連立方程式 0, ② の解が存在する条件 と捉える。すなわち、 ① を満たす。
m=-2
また,Oも成り立つ。
3章
18
ということになる。
(x. y)= (0, 1) → (0かつ2)は成り立たない。
のの式を満たすと考え, ①, ② から mを消去しx, yの関係式を導く。
なお, mを消去するため,①をmについて解くときに,xキ0 とx=0の場合分け
となる。軌跡を答えるときは, 除外点にも注意が必要となる。
(のかつ2) =→(*) は成り立つが,(*)= (①かつ(②) は成り立
な s
ゆえに,x=0 のとき
たない。
本がって、(*)の表す図形から点 (0, 1)を除外したものが,直線 ①, ②の交点の軌跡と同1じ
になる。
解答
P(x, y) とすると, x, yは①, ② を同時に満たす。
[1] xキ0のとき
イm=メ
を利用すること
検討)図形的に考える
x
I 0から
カミ
X
別アプ 重要例題111の直線① は常に原点0を通る。
また,直線2は,その方程式を変形すると,
x-2+m(y-1)=0
となるから,常に点 A(2,1) を通る。
ここで,2直線0, ② の係数について、
m·1+(-1)m=0
ら,xキ0 とx=Dの
分けて考える。
ローチ
のに代入して
そ y.
x x
両辺にxを掛ける。
分母を払って
x*+y?-2x-y=0
の
(ージ+(yー)ー
すなわち
5
4中の(1 )
2
であるから,2直線 ①, ② は垂直に交わり ZOPA=90°
である。
のにおいて,x=0 とすると
ゆえに,xキ0のとき,点Pは円③から2点(0, 0), (0, 1)
を除いた図形上にある。
[2] x=0のとき
メ=0, y=0 を②に代入すると
ソ=0, 1
イxキ0 であるから,xl
ときの点は,除外点と
よって、求める図形は、線分 OA を直径とする円である。
ただし,m がどんな実数値をとっても①は直線x=0 を表さず, ②は直線y=1を表
すことはない。
0から y=0
したがって,2直線 x=0, v=1 の交点(0, 1)に点Pが重なることない。
[(★):b.161 の(*) 参照。]
m=-2
よって,点(0, 0) は m=-2のと
きの2直線の交点である。
以上から,求める図形は
『オ=0, y=0が0, 0t
たすための実数m
する。
除外点
1
2
円(x-1ジ+(ー=
ただし、点(0, 1)を除く。
練習|kが実数全体を動くとき, 2つの直線 .: ky+x-130, la:y-kx-k=0の交点
111| はどんな図形を描くか。
0
1
2
x
【類立教大)
軌跡と方程式
