数Bの数列です。なぜ波戦部分のように、第k項を求めることができるんですか？

294 第7章 数列 X 練習問題 7 次の数列の初項から第n項までの和を求めよ 1 1 1 1 1・4' 4･7' 7・10' 10・13' 精講 部分分数分解をすることで, という形をつくることがポイントになります. 解答 数列の第k項は よって f(k-f(k+1) またはf(k+1)-(k) 1 (3k-2) (3k+1) 1 1 1 33k-2 3k+1 部分分数分解 (*)

数列です なぜ数列の第k項は...以降の計算になるのかわかりません( ; _ ; ) 教えて欲しいです🙇🏻‍♀️🙇🏻‍♀️

294 第7章 数列 練習問題 7 次の数列の初項から第n項までの和を求めよ. 1 1 1.4' 10・13' 精講 数列の第k項は よって 部分分数分解をすることで という形をつくることがポイントになります. 解答 1 香合 1.4 1 1 4･7' 7･10 1 + + 4.7 (3k-2) (3k+1) fk-fk+1) またはf(k+1) - f(k) 1 7.10 3k-2 +......+ = 1 1 3 3k-2 = 3k+1 部分分数分解 -1/(1-1)+1/(1-1)+1/(1-11) 4 3 4 7 33n-2 3n+1/ =1/{(1-1)+(-1)+(1-1)+ +(3²2-3²1) 3k+1/ 1 (3n-2) (3n+1) 7 10 10 1 n 3 3n+1 +…………+ -3 (¹-3n+1)= (3n+1)-1, コメント (*)の部分分数分解をするときは、ひとまず下のような差の形を作り、それ を計算してみます。 ·(*). 1 3n+1 = (3k—2) (3k+1) - l 分子が3になるので,これを打ち消すために両辺を3で割れば(*)の式が得 られます。このように,部分分数分解は ｢とりあえず差の形を作ってみて、そ これが元の式に戻るように帳尻を合わせる」という考え方をするとうまくいくこ とが多いです. (分子が3になった (3k+1)-(3k-2) 3² (3k-2) (3k+1)

数2の数列です。(1)の(ii)なのですが、なぜ1/2nでくくりだすんですか？

284 第7章 数列 練習問題 5 (1) 次の和を計算せよ. (i) Ź (k²+2k+3) (2) 次の和を計算せよ. (i) 1².2+2².3+·····+n²(n+1) (ii) 1·n+2.(n-1)+3· (n − 2) + +n·1 精講 「多項式」で表されるような数列の和を, 効率良く計算することがで 和の公式 ①~④と和の法則を組み合わせることで,一般項が「kの きます.ただし, シグマを「分配」 することができるのは, 数列の「和」のと きだけですので, 「積」 の場合は n k=1 のようにシグマを分けることはできません. 一般項に積が含まれている場合は、 まず式を展開して和の形にしてから,シグマを「分配」してあげます。 解答 和の公式 n 2ab₂ = ªx 2b₂ ak k=1 k=1 k= n n (1Xi) (k²+2k+3)= Σk²+2k + 23 和の性質 ④ k=1 k=1 和の性質 B (ii) (3k-1)² = k=1 n k=1 k=1 3 n = Σk² +2k+3Σ1 k=1 k=1 n =9. • n(n+1 n -n(n+1) (2n+1) +2• n(n+1 -n{(n+1)(2n+1)+6(n+1)+18} -n (2n²+9n+25) n(2 × できない k=1 (ii) Σ (3k-1)² = Σ (9k² −6k+1)<EHLCHOEEKFZ 展開して和の形を k=1 k=1 作る n =9Σk²-6Σk+Σl 和の性質 A, B k=1 n k=1 -n(n+1)+3n n(n+1)(2n+1)-6･ -n(n+1)(2n+1)-3n(n+1)+n •6• _—_n(n+1)+n< 訓でくくる 和の公式 12/2でくる (2Xi =1/11n{3(n+1)(2n+1)-6(n+1)+2}=n(6n²+3n-1)

下線部の式について教えてほしいです。

137 数学的帰納法 (ⅡI) nが自然数のとき,次の各式が成立することを数学的帰納法を 用いて証明せよ. (1) 1²+2²+...+n² = n(n+1)(2n+1) ....... X △(2) 1+ 1 1 + +…+ -2. 2 3 1 2n n n+1 (1) i)n=1 のとき 1) kor |精講 手順は 136 と同じですが,n=kのときの式から,n=k+1のとき の式を作り上げるときに,どんな作業をすればよいのかが問題に よって違うので,問題に応じてどんな作業をするかを考えなければなりません。 解 答 つと仮 左辺=1,右辺=1・1・2・3=1 … ② よって, n=1のとき, ① は成立する. ii)n=kのとき 1² +2²+...+k²=¹k(k+1)(2k +1)-(( が成立すると仮定する. ①' の両辺に(k+1)を加えて 左辺=12+22+..+k²+(k+1) 2 右辺=1/k(k+1)(2k+1)+(k+1)2 = // (k+1){(2k²+k)+6(k+1)} ¹3 BST DAAR = 1/(k+1)(k+2)(2k+3) 左辺に, 1²+2²+... +k²+(k+1)² を作ることを考える ト これは,① の右辺にn=k+1 を代入したものである. よって, ① は n=k+1 でも成立する. i), i)より, ①はすべての自然数nについて成立する.

(2)を積の微分を用いないで教えてください...

264 第7章 積分法とその応用 標問 117 積分方程式 次の関係式をみたす整式f(x) を求めよ. (1) f(x)=1+((1-t)f(t)dt (2) √₁²f(t)dt = xf(x)+x²+x0²³ 未知の積分を含む等式を積分方程式 といいます. ○精講 積分方程式には、大まかに2つのタイプがあり, その解法には一定の手順があります。 Sf(t)dt を含むもの → Sof(t)dt=k (定数) とおく. Sf(t)dt を含むもの →xで微分する. 本問の(1),(2)がそれぞれのタイプに対応してい ます. (1) の積分の両端が定数タイプのものは,関 数が未知だから, 直接 Sof(t)dt の値を求めるこ とはできません. しかし, この値はなんらかの定 数となるので,それを適当な文字んでおきかえま す。 これに対して, (2)の積分の両端のうち少なくと も一方が変数のタイプは,微分して積分記号をは ずすことを考えます. その際, dif(t)dt = f(x) を使うので,定数項に関する情報が消えます . Sof(t)dt=0 などを利用して,これを補います. (1) 与えられた等式は 〈解答 ƒ(x)=1+xſ^ƒ(t) dt—S'tƒ(t) dt 解法のプロセス Sof(t)dt (東北学院大 ) (学習院大) 分方程式 定数んとおく (1) S(x-t)f(t) dt =ax-b La ↓ = xf²f(t) dt-Stf (t) at する (は積分記号の外に出す) (2) F(x)=f(t) dt [F'(x)=f(x) (F(1)=0 2121-130 xを積分記号の外に出す と変形できる. Sof(t)dt=a, Sotf(t)dt=6 とおくと f(x)=1+az-b=ax+(1-b) である. これより | a=S₁s (1)dt =[a+ ² + (1-6) ₁] = 2 +1 | b-Sir(t) at = a + (1-6). ] = + +1-6 2 (a+26=2 l2a-96=-3 12 6 よって, f(x)=1/3x+- 13 (2) 両辺をxで微分して 12 13' f(x)={f(x)+xf'(x)}+2x+3x2 .. xf'(x)+2x+3.²=0 (f'(x)+2+3x) = 0 任意のxに対してこの等式が成り立つことから f'(x)=-3.x-2 与えられた式でx=1 とおくと f(1)+2=0 ... f(1)=-2 ゆえに (4) 3 :. f(x)=2x²-2x+C (CH) 3 2-2+C=-2 3 3 よって、f(x)=12/22-2x+1/2 b= 7 13 0531 265 2 演習問題 (117 (1) f(x)=2x+120'f(x)dz (2) f(x)=x-2f\f(t)\dt (3)_ƒ(x)=x³+x²+S²_₁₂(x− t)²ƒ (t) dt 積の微分 (数学ⅢI) {f(r)g(x)} =f'(r) g(x)+f(x) g' (x) 10 ◆積分 Sff(t)dt を消すために, m=1 とおく 次の関係式をみたす整式f(x), g(x) を求めよ. f(x)=1+S*g(t)dt, g(x)=x(x−1)+Sª,f(t)}dt 岡山理大) (秋田大) (島根大) (慶大)

⑶ですが、このようなグラフになるというのはすぐにわかるものですか？ 微分したらして、グラフを求めようと思えば求められるのですが、解答解説には特に書いてなく、皆さんならどのような手順でグラフを書くのか教えてもらいたいです

練習 247 *** 次の曲線や直線で囲まれた部分の面積を求めよ. (1)y=-x+3x2+4x-12, x軸 (3) y=-x-x2+x+2, y=-x+2 (2) y=-x+5x2-7x+3,x軸 p. 454 14)

第2式とはどれの事でしょうか... 教えてください🙏

120 放物線と接線で囲まれた図形の面積 ひき,その接点をそれぞれQ(a, a2), R(B, B2) (a <B) とする. 座標平面上の曲線 C1:y=x2 に点P(X, Y)(Y<X2) から2本の接線を + (1) X, Y を α, β で表せ. (2) 線分 QR と C とで囲まれる部分の面積を S1, 2つの接線と1とで囲ま れる部分の面積をS2 とするとき, S: Sz を求めよ. 178.200 (3) 点Pがある曲線 C2上を動くとき, つねに S2 = であるという.この 2 とき, 曲線 C2 の方程式を求めよ. (*山形大, *東京理大, "熊本女大) 接線の方程式は 接点とその点における微分係数 精講 により決まります。 (1)2 接線の交点が P(X,Y) です. (2)直線と放物線の位置関係(上下の関係)を おさえながら,式をたてます.このとき、 接点 Q, Rのx座標はそれぞれα, β なので, S₁=-(x-a)(x-B) dx といった変形が可能です. 解法のプロセス α+β a‡B v² X=a+B 2 接線の方程式は まず、 接点を決める ↓ 面積 S, S2を ①に代入し Y=2μ• 2 解答 (1) 点Q(α, α2) における接線の方程式は y=2x(x-a)+α² :: y=2ax-a² ......1 同じく, 点R(B, B2) における接線の方程式は y=2x-β2 ·② β-a で表す S: S2 を求める P(X,Y) は1, m の交点ゆえ, ①,②を連立して 2aX-α²=2BX-B2 .. 2(a-B)X=a²-8² ...... ③ a+B_ -a²=aß C 11

下線部の変形が分かりません...詳しく教えてください🙏

3 (1) f(x)=2x(2-x) 3 x s-S₁f(x) dx = ³ [2²-²-1 2 =1 3 = n-1 k 3.1 k -- Σ √ ( 4 ) · ²2 - 2 + 1 - 2 / ² (²-4) ● Sn=" k = 2 k=0 n n k=0 n = ² <. とおく。で n-1 3 2nd (2nk-k²) 2n³ k=0 答 23³ (2n. (n=1)n_ (n-1)n(2n-1) ²-1)} 2 こと 6 4n²-3n-1 4n² よって, S-Sn=1- 4n²-3n-1_3n+1 4n² L 4n²

(2)の最後でuからxに変えるときにそのままuをxにするのは何故ですか？2x=uを代入するのではないんですか？解説お願いします🙇‍♀️🙇‍♀️

Check 定積分で表された関数(1) 例題251 次の条件を満たす関数f(x) を求めよ. f(x)=ex-Sof(t)dt (1) (関西大) Sof(t)dt=k(kは定数)とおく。 考え方 (1) 「定積分の積分区間の上端も下端も定数のとき, その定積分の値は定数」であるか ( 2 )積分区間の 2x を uとおいて考える. f(x)=e-Sof(t)dt (1) ......① Sof(t)dt=k(kは定数)とおくと ......3 解答 SPATH DIY, f(x)=e* -k これを②に代入すると, (土 Sle-k)dt-[e-kt-e-1- Focus k=e-1-k より,k=e-1 2 Sof(t)dt = xex に代入すると, Sof(t)dt = -1/ue 両辺をxで微分して, (2) f(t)dt=xe f(u) = 1/3 e + + 1/2u(-1/2) e 2 = (2-u)e- C2x よって, f(x)=1/12(2-x)-葦 SOUSVESISTOR 分と微分 区分求積法 したがって, よって、③より、f(x)=end ワー f(x)=ex_e_1 2 (2) 2x=u とおくと, x=- -u より, 35600) f(x)=e*-'f(t)dt +xfof(t)dt (久留米大) ** (関西大) f(x)=e*-k || k 次のようにしてもよい。 S²* f(t) dt =F(2x)-F(0)=xe-x xで微分して, 2f (2x)=e^x-xe-x f(2x)=(1-x)e-* 2 2x=t として, |f(t)=- よって, 練習 次の条件を満たす関数f(x) を求めよ。 (2) はαの値も求めよ. 257 (1) (1-x²) S*f(t) dt=Sx²f(t) dt (2) Sof(t)dt=xe+xff(t)dt (1-1) + e 2 (J33AFJJSBXON(x)= (2-x)e¯ž 4 Sof(t)dt=(定数). Sof(t)dt=0, axSf(t)dt=f(x) 535 •p.567 24 25 第7章

1枚目の練習問題について、なぜこの階乗の式が出てくるのですか？2枚目はこの練習問題の例題なのですが、Cをつかって反復試行としての計算をしています。なぜ練習問題だとこれが出てくるのか教えてください！

203 第7章 確率 数直線上の原点にある点Pを, 1個のさいころを投げて 1か2の目が出たときは正の方向 に1だけ進める。3か4の目が出たときは負の方向に1だけ進め,5か6の目が出たとき はどちらにも進めないとする. 次の確率を求めよ。 (8) 1207 (1) さいころを2回投げたとき,点Pが原点にある確率 (2) さいころを3回投げたとき, 点Pが原点にある確率 (3) さいころを5回投げたとき, 点Pが原点にある確率 とすると,それらの確率は, 1個のさいころを投げるとき、+1(A1) 1か2の目が出る事象を開くと 、 (S) 3か4の目が出る事21_0 5か6の目が出る事を 204 3' 6 A1 がx回,A2がy回, A3 が2回(x≧0 y≧0,z≧0) 起こったとすると,点Pの座標は, x-y (1) さいころを2回投げたとき, 点Pが原点にあるので x+y+z=2,x-y=0 125 2_1 P(A.)=27= 3, P(A,)=²–13, P(As)-²-102 6 3 より、 x=y=0,z = 2 またはx=y=1, z=0 よって, 求める確率は, \2 2! ( 1² ) ² + ₁ ² + + ( ² ) ( ²3 ) - 0³/12 - 03/12 1!1! 3 9 (2) さいころを3回投げたとき, 点Pが原点にあるので x+y+z=3,x-y=0 より 2x=y=0, z=3 または x=y=z=1 よって、求める確率は, 3! 1 7 (13)+ ²-) (²) ( ² ) = 2 1!1!1!3/3/3 27 "(---)-^(-4) (3) さいころを5回投げたとき, 点Pが原点にあるので、 CO x+y+z=5,x-y=0 1770)1-(8 z=1は、(1)より またはx=y=2, よって, 求める確率は, AI 5 5! /1 + 1!1!3! (-/-)² (13) (/)(//)+ 51 17 243 81 5! -3 2!2!1! 3*5* (S) より、 x=y=0,z = 5 またはx=y=1, z=(~ (2) A から 11 (1/3) (12/2(13) ← -1 (A2) A3 は動かない 1 2 3 0867 (1) ◄P(A₁) × P(A₂) × P(A3) さいころをn回(n≧4) 投げるとき, 次の確率を求めよ. の確率 Ch 練 321 S1 THE x=y ** x=0 から順に調べる. P(A1) XP(A2) ((()() 209 出産 (2)出る目の積が6の倍数である確率 at