Question

イズ

下線部の式について教えてほしいです。

137 数学的帰納法 (ⅡI)
nが自然数のとき,次の各式が成立することを数学的帰納法を
用いて証明せよ.
(1) 1²+2²+...+n² = n(n+1)(2n+1) .......
X △(2) 1+
1 1
+ +…+ -2.
2 3
1 2n
n n+1
(1) i)n=1 のとき
1) kor
|精講
手順は 136 と同じですが,n=kのときの式から,n=k+1のとき
の式を作り上げるときに,どんな作業をすればよいのかが問題に
よって違うので,問題に応じてどんな作業をするかを考えなければなりません。
解
答
つと仮
左辺=1,右辺=1・1・2・3=1
… ②
よって, n=1のとき, ① は成立する.
ii)n=kのとき
1² +2²+...+k²=¹k(k+1)(2k +1)-((
が成立すると仮定する.
①' の両辺に(k+1)を加えて
左辺=12+22+..+k²+(k+1) 2
右辺=1/k(k+1)(2k+1)+(k+1)2
= // (k+1){(2k²+k)+6(k+1)} ¹3
BST DAAR
= 1/(k+1)(k+2)(2k+3)
左辺に,
1²+2²+...
+k²+(k+1)²
を作ることを考える
ト
これは,① の右辺にn=k+1 を代入したものである.
よって, ① は n=k+1 でも成立する.
i), i)より, ①はすべての自然数nについて成立する.

(2) i)n=1のとき
左辺=1,右辺= 2.1
i)n=kのとき, ② が成立すると仮定すると
1+1/12/2 1
3
②' の両辺に
+ +
左辺=1+-
右辺=
ここで,
2k+1
k+1
∴.1+-
1
k+1
1
2
1 1
·+·
2
3
+ N
2k
1
+
k+1 k+1
2 (k+1)
k+2
1+1
=1 となり, n=1のとき②は成立する.
+ ・+
すなわち,
1
1+ + +
2
1
2k
k k+1 ......2'
を加えると
·+·+
=
=
1
+
k k+1
2k+1
k+1
DA
k
(k+1)(k+2) ->0
1
2k+1
->
k+1 k+1
1 2(k+1)
N
k+1 k+2
UA
2(k+1)
k+2
【左辺を証明したい式
にする
G
215
ここがポイント
これは,②にn=k+1 を代入したものである。
よって,n=k+1 でも②は成立する.
i),
ii) より, すべての自然数nについて ② は成立する.
ポイント 数学的帰納法を使って証明するとき,n=kのときを
仮定したら,n=k+1 のときを計算用紙に書いてお
き2つの式の違いを見比べながらこれから行うべき
作業を決める
第7章

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

みんす

引き算するために分母を揃えます。
分母を揃えるためにお互いの分母をかければ同じ分母になります。K＋1にはK＋2をかけ、K＋2にはK＋1をかける、分子にもかける、そうするとその式になります。

イズ

式変形の方ではなくこの式の意味（特に左辺）について教えてほしいです🙏

イズ

自分で解き直したら理解できました。ありがとうございました！