マーカーを引いたところの1行目の意味は理解できたのですが、そこからどうして2行目のtの範囲が出るのか分かりませんでした。教えていただきたいです。

4 aとを定数とし, 3次方程式 8x12x2+x+a = 0 は sin/ と cos (sin/キcos) を 解にもつとする. (1) sin + cose の値を求めよ. (2)定数 αの値とこの3次方程式のすべての解を求めよ. (1) 3次方程式 8x12x2+x+a=0 ..... ① の3つの 解を, sind, cose, α とすると,解と係数の関係から, 123 B …② 8 2 = sin+coso+α: sin Acose+acost + asino =sinQcosd+α(sinQ+cos9)=1/3 ・③ sin0+ cosa=t とおくと, t2=sin'0 +2sinocose + cos20=1+2sincose 3次方 ①は sino cose を解にもっ ので、もう1つの解をαと おく. lax2+bx+cx+d = 0 (a≠0) の解をα.B.yとす ると,解と係数の関係より、 α+B+y=- b a aβ+By+ra=_ t2-1 より sinocoso= ¥200 a 2 d 3 についてy=1 a ②より t+α= 2 3 a = t ② 2 をつい t2-1 ③より, +αt= よって, 51 t= 2'2 21+ at=80& ② を代入して整理すると, (2t-5)(2t-1)=0 4t-12t+5=0 1 Js (>0)80 83

この問題の青線部分の変換の仕方を教えてください！ なぜこうなるのか分からなくて...

異なる3点A(a),B(B), C(y) に対して, 半直線AB から半直線 ACまでの回転角0は, r-α 0=arg B-a _0は向きを含めて考えた角で,負の値をとることもある。 列 12 α=1+2i, β=2+5i, y=3+3i の表す点を それぞれ A, B, C と し、半直線AB から半直線ACまでの回転角を0とする。 <≦の範囲で, 0の値と∠BACの大きさを求める。 √2 31/2-21-2 (cos(-4) + sin(-4)} 7-a 2+i B-a 1+3i よって, 8=- 7,∠BAC= 4 π COS

(1)はAP^2=の2行目へ移るところでiはどこいっちゃったんですか？距離だからi無視してるんですか？？

基本 例題 3点A(5+4i),B(3-2i), C(1+2i) について,次の点を表す複素数を求めよ。 (41) 2点A, Bから等距離にある虚軸上の点P ②2) 3点 A, B, C から等距離にある点Q B-a=p+gi (p, gは実数) のとき AB=B-α| 480 Op.417 基本事項 |B-a|=|p+qi|= p²+q² 113 AP=BP 闘 CHART & SOLUTION 複素数平面上の2点A(a), B(β) 間の距離 (1) 虚軸上の点をP (ki) (kは実数) とおき 解答 ふつうに614 3.2 設々やる方がらく (1) P(ki) (kは実数) とすると キョリ (2) Q(a+bi) (α, bは実数) とおき AQ=BQ=CQ AP2=|ki-(5+4i)|2=(-5)+(k-4)il 「は実数」の断りは重要 YA A =(-5)²+(k−4)²=k²-8k+41 P BP2=|ki-(3-2i)|= (-3)+(k+2)i =(-3)2+(k+2)2=k+4k+13 AP=BP より AP2=BP2 であるから id k2-8k+41=k2+4k+13 これを解いてh= W したがって,点Pを表す複素数は 1/23 で 73 0 OB x ← AP≧0. BP≧0 のと AP=BP⇔AP=E

(2)の解説でなぜこの式になるんですか

な実数値αに対しても、 めには, dz0 だから, 46-20 が成り立 よって62212 a=0が実数解をもつので、判別式を D == 1-a≧0 よって a≤1 関係より a+β=-2, af=a 0 =0より 3)2-2aẞ+8(a+B)=0 -2-a-16-0 =-6 たす。 よってa=-6 ① ② ③ に代入して -ptq-g…本 -pa-p⑤ ⑤より,pq+1)=0 よって, =0 または q=-1 =0 のとき,④より, q=0 q=-1 のとき,④より,p=-2 よって, p=0,g=0 または p=-2,g=-1 30 与えられた式をf(x) とおく。 (1)f(-1)=0 だから x+1を因数にもつ。 f(x)=(x+1)(2x²+x-1)=(x+1)^(2x-1) (2) f(2)=0 だからx2を因数にもつ。 f(x)=(x-2)(x²-3x-4) =(x-2)(x-4)(x+1) (3) f(1)=0 だから x-1 を因数にもつ。 判別式をDとすると D>0... ① (a+1)+(β+1) <0...② f(x)=(x-1)(x-7x-6), g(x)=x7x-6 とおくと, g(-1) = 0 だから (a+1)(+1)>0... ③ -B=4 である。 g(x)=(x+1)(x2-x-6) =(x+1)(x+2)(x-3) -4) (k-4)>0 <h てk>2 てん<5 31 (1) x+2x3+2x2+x-6 よってf(x)=(x-1)(x+1)(x+2)(x-3) =(x2+x)2+(x2+x)-6 =(x2+x-2)(x2+x+3) =(x-1)(x+2)(x2+x+3) 1002 (2) t = x²+x=(x+1)² - 1-1/4 だから,tの値の範囲は - 1 7 Jed

最小値を考える時、区間内にあれば、頂点が最小値ということが解答に書いてありません。 なんで考えないんですか？

イ ●82次関数の最大・最小/定義域が動く場合 a を実数とする. 定義域がa≦x≦a+4である関数f(x)=-x-4-6の最大値はαの関数で あるので,これをM (α) と表す. 同じく, 最小値をm(α) と表す. M (a), m (α) を求め, b=M(a), b=m(a) のグラフを ab平面に (別々に) 書け. ( 名古屋学院大) 最大・最小となる候補を利用 前問は, 定義域が一定区間に決まっていて, 関数の方が変化したが, 本間は, 関数の方が決まっていて, 定義域の方が動く問題である。 とは言っても, 前問と同様に解くこ とができる.ここでは, 前問と違うアプローチを紹介しよう. (なお,これらの解法は, 関数と定義域が ともに変化するときも通用する.) 左ページの①~⑦のグラフから分かるように, y=d(x-p2gのグラフが下に凸の場合, 区間α≦x≦B における最小値は, x=が区間内にあれば, 頂点のy座標 q そうでなければ, 区間の端点での値f (α), f (B) のうちの小さい方 区間 α≦x≦ β における最大値は, 区間の端点での値f (α), f (B)のうちの大きい方 である. 結局, 「最大値や最小値になる可能性のある点は、頂点と両端点の3つのみ」 であるから, 「頂点のy座標(頂点が区間内にあるとき) および区間の端点のy座標からなる3つのグラフを描い ておき, 最も高いところをたどったものが最大値のグラフ, 最も低いところをたどったものが最小 値のグラフである」 これは,グラフが下に凸な場合のみならず, 上に凸な場合についても成り立つ。 解答量 y=f(x)のグラフは上に凸である. f(x)=(x+2)2-2 (a≦x≦a+4) であるから, 頂点の座標がa≦x≦a+4にあるとき (←a≦-2≦q+4), すなわち, 6≦a≦-2のとき M(a)=f(-2)=-2 DA それ以外のとき, M (a) = max{f (a), f (a+4)} つぎに, f (x) の最小値は定義域の端点で取るから, m (a) =min{f (a), f(a+4)} ここで,f(α)=-(a+2)2-2 f(a+4)=-{(a+4)+2}2-2=-(a+6)2-2 であるから,b=f(a), b=f(a+4) のグラフは図1のようになる. よって, b=M(a), b=m(a) のグラフは、 図2, 図3の太線である. 図1-6-4-260 図2-6 -2 bo 図3 -4 a b=-2 a -2 ←max {p, g} は,p, q のうちの大 きい方(小さくない方) の値を表 す (min{p, q} は, p, q のうち の小さい方(大きくない方) の値 を表す). ←一般に b=f(α+4) のグラフは, b=f(α) のグラフをα軸方向に -4だけ平行移動したものである. (p.32, 5.1) -6 b=-(a+2)-2 b=-(a+2) -2 -6 b=f(a+4) b=f(a) b=-(a+6)²-2 b=-(a+6)-2

青い線の部分の意味が分かりません。どういうことですか？

ことがわかっ 基本 67 3次方程式が2重解をもつ条件 ①①①①① 3次方程式x+(a-2)x-4a=0が2重解をもつように, 実数の定数αの値を定 めよ。 [類 東北学院大 ] 基本 65 複素数の和 気もまた複素数 ら、複素数を る多項式につ の算の等式が は次式 指針 方程式(x-3)(x+2)=0の解x=3を,この方程式の2重解という。また, 方程式(x+2) (x-2)=0の解x=-2を,この方程式の3重解という。 まず, 方程式の左辺を因数分解して, (1次式)×(2次式)=0の形に直す。 方程式が (x-α) (x2+px+g)=0と分解されたなら, 2重解をもつ条件は [1] x2+px+g=0が重解をもち, その重解は xキα [2] x2+px+g = 0 がα とα以外の解をもつ。 → 2重解はx=α であるが, 一方の条件を見落とすことがあるので,注意が必要である。 なお,[1] は,2次方程式の重解条件と似ているが, 重解が xキαである ( x = αが3重 解ではない)ことを必ず確認するように。 与えられた3次方程式の左辺をα について整理すると (x2-4)a+x-2x2=0 (x+2)(x-2)a+x2(x-2)=0(-1) (x-2){x2+(x+2)}= 0 (x-2)(x2+ax+2a)=0 または x-2=0 x2+ax+2a=0 よって この3次方程式が2重解をもつのは,次の [1] または [2] の場合である。 次数が最低のαについ て整理する。 また P(x)=x3+(a-2)x2-4a とするとP(2)=0 よって,P(x)はx-2を 因数にもつ。 これを利用して因数分解 してもよい。 解答 か b- に対し [1] x2+ax+2a=0がx=2の重解をもつ場合。 判別式をDとすると D=0 かつ a ≠2 2･1 D=α2-4・1・2a=a(a-8) であり, D=0 とすると a=0,8 a ここで, ≠2から αキー4 2.1 2次方程式 Ax²+Bx+C=0 の重解 は B 2A α=0, 8はαキー4 を満たす。 「 [2] x2+ax+2α=0の解の1つが2で,他の解が2でな い場合。 2が解であるための条件は 22+α・2+2a=0 これを解いて a=-1 [2] 他の解が2でない, と いう条件を次のように考え てもよい。 このとき, 方程式は (x-2)(x-x-2)=0 したがって (x-2)^(x+1)=0 ゆえに, x=2は2重解である。 以上から α=-1,0,8 他の解をβ とすると解 と係数の関係から 2β=2a β≠2から a=2 ■ αを実数の定数とする。 3次方程式(a+1)x-a=0 (1) ①が2重解をもつように, αの値を定めよ。 ①について (2) ①が異なる3つの実数解をもつように, αの値の範囲を定めよ。

なぜ1だと分かるんですか？？あとどういう思考回路でこの解法になるのか知りたいです笑笑難しい、、

例題 2.44 点の存在範囲(2) 複素数 α, β は |α-1|=1, \β-il = 1 を満たす (1)α +β が存在する範囲を複素数平面上に図示せよ、 **** (2) (α-1)(β-1) が存在する範囲を複素数平面上に図示せよ.(一橋犬 ) [考え方 α-1=cosp+isinp、β-i=cosq+ising とおける 解答 (a+β=z として、(α-1)+(β-i)=z-1-i から点zの存在範囲を考える. (2) (α-1)(β-1)=(cosp+isinp) (β-1) は, 点β-1を原点のまわりにだけ回転し た点である www (1) α+β=z とおくと, (α-1)+(β-i) = a +β-1-i より z-1-i=(-1)+(β-i)・・・① ここで, |α-1|=1 より α-1 =cosp+isinp (0≦p <2. wwwwwwwww C2-95 |β-il=1より、β-i=cosq+ising (0≦q<2m) とおける。よって、①は、 z-1-i= (cosp+isinp)+(cosq+ising) つまり, ここで、 =(cosp+cosg) +i(sinp + sing) =2 cos cos 2-9+2isin 2+ cos 2-9 p+q 2 =2cos(cosisin +9 ) 2 cosb-9 z-1-i|2|cos cos ++isin 25g =2 2 COS p+g +isin +9=1 で . 2 p±q|=1 2 2 | 0100 同 IS YA 0≦p<20g<2πより π < 2 3 であるから、cos201 第5章 したがって, ②より |z-1-i≤2 よって, a+β(=z)の存在範囲は,点1+iを 中心とする半径2の円の内部および周上であり, 右の図の斜線部分(境界線を含む) 10 3 x (2) |β-i=1 より 点βは,点を中心とする半径1の円の周上を動く、 よって、点β-1 は, 点 -1 + iを中心とする半径1の円の周上の点である、 また, |α-1|=1 より, α-1=cosp+isinp で あるから, (α-1)(β-1)=(cosp+isinp)(β-1) (0≦p<2m)で定まる点は,点-1 + iを中心とす る半径1の円を、原点のまわりに1回転した図形 を形成する. よって、 (α-1) (β-1)の存在範囲は、 原点を中心とする半径√2-1の円と半径√2+10 の円とで囲まれた範囲であり、 右の図の斜線部分 (境界線を含む) ya lv2 +1 √2-12-1 √2+1 V2 +1 2-1 -√2-1 練習 複素数α βは |α-1-il=1, |β-il=1 を満たす. C2.44 (1) βが存在する範囲を複素数平面上に図示せ *** (2)(α-1-i) (B-2)が存在する範囲を複素数平面上に図示せよ.

（1）　2枚目の円と実軸が答えですが、原点が含まれていないのはなぜでしょうか？ 0は実数に含まないのですか？

例題 次の問いに答えよ. かいて みよう (1)z+1が実数となるような複素数ぇの存在範囲を複素平面上に図示せよ。 B-a (2)|a|=|8|=1のとき || を求めよ。 (+1) laβ-11 解説・解き方のコツ 1) z+が実数となるための条件は,z≠0のもとで Z 1 +/2/2=(2+/2/2) 1 ...① 右辺 =え+(1/2) 1 + 2+1/2=2+ 2 222+2=2(2)²+2 1 Z 両辺を 22 (≠0) 倍

この問題が解けません。⑴の解説をお願いします。

1-1 n個の未知変数 x1, x2,…, xnについて,以下の連立方程式を考える. bxi-1 + axi + bxi+1 = 0 (i = 1,2,...,n) ① ただし, x = α, Xn+1 = βとする.a,b,α,βはすべて実数定数である.以下の問いに答えよ. (1) 未知変数(x1, x2,..., xn) を要素とするn次元列ベクトルxを定義したとき,連立方程式①は以 下のように行列を用いて書ける. Ax = b 行列Aとベクトルbを答えよ. (2)n=3のとき,連立方程式 ①がただ一つの解を持つ条件を示せ.

右ページの（1）の中の、t^2-2xt-4＝0がどこかは出てきたのか分かりません。教えてください。

数学Ⅱ α+β_m+1 ② X= 2 2 また,Pは直線上の点であるから y=mm -1)-1 m²-m-2 ③ 2 ②から m=2x-1 ...... ④ ③に代入して整理すると y=2x2-3x また,(1)の結果と④から 2x-1<-1, 3<2x-1 ゆえに x<0.2<x よって、求める軌跡は 放物線y=2x3xの x0, 2<xの部分 ya つなぎの文字 去。 (1)① ② からyを消去すると a-Bx= 2 a2-B2 βであるから これを①に代入して 数学Ⅱ -97 (2) すなわち a-B 2 x= (a+B)(α-B) 4 x=A+B M 2 R aa+B Q2 aẞ 2 2 4 よって、点Pの座標は 2 (a+h, as) x aẞ ③から -1 (1) ←y 座標が定数, x座標 3章 α+B は任意の実数。 練習 ゆえに y=-1 ④ 逆に、④が成り立つとき,α, βを2解とする 2次方程式 [図形と方程式] 練習 放物線y=- 4 @114 線の交点をP, 線分 QR の中点をMとする。 上の点 Q R は, それぞれの点における接線が直交するように動く。この P-2xt-40の判別式を D' とすると D =(-x)-1-(-4)=x2+4 よって D'> 0 (1)点Pの軌跡を求めよ。 (2)点Mの軌跡を求めよ。 類 よって、任意のxに対して実数α, B (αキβ) が存在する。 直線 y=-1 したがって, 点Pの軌跡は ← 逆も成り立つ。 点Qの座標をα, 点の座標 (24) (2) M(x, y) とすると (ただしαキβ) とする。 a+B ...... 点Qにおける接線でx軸に垂直なものはないから, 接線の傾 とすると,その方程式は x= 2 ④,y= 1/2(+2) ⑤ ④から α+β=2x ...... ⑥ y=(xa) すなわち y=m(x-a)+- Q2 a2+B2 (α+B)22aB これと立してx-a)+o ←点(x1,y) を通り きの直線の方程式 y-y=m(x-x) ⑤から y= 8 8 これに ③ ⑥ を代入して (2x)'-2(-4)_x2 整理すると x2-4mx+4ma-α2=0 y= +1 ←つなぎの文字α, β を 消去して, x, yの関係式 を導く。 8 2 したがって, 点Mの軌跡は 放物線y= +1 2 この2次方程式の判別式をDとすると =(−2m)²−1·(4ma-a²) =4m²-4ma+α²=(2m-α) 2 接するとき, D=0であるから (2m-a)²=0 よってm=1 [参考]「微分法」(第6章)を用いると,y= x2 から y' = x 2 よって,点 Q における接線の傾きは であるから、接線の 方程式は したがって,点Qにおける接線の方程式は y=1/2(xa) すなわち y= 4 a ←①が導かれた。 4 ① この2接線が直交するから 01/10/2= 同様に,点R における接線の方程式は y=! a B 同様に,本冊 p. 181 重要例題 114 において, y=x2 のとき y'=2x 8-2 B2 21 4 ② ←点Rにおける接線に すなわち 22=-1 ついてもまったく同様 あるから したがって、点P (p, p2) における接線の傾きは2p である から 接線の方程式は y-p²=2p(x-p) 5 y=2px-p² aβ=-4 ...... におき換えるだけでよい のように簡単に求めることができる。 I Aor