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基本例題
29.(2)
29 不等式の証明(絶対値と不等式)
47
.38基本
次の不等式を証明せよ。
(の70?7
どたとm
(1) la+b|<lal+||
(2) lal-|b|<|aーb
p.38 基本事項 4, 基本 28
1章
CHART
SOLUTION
似た問題 1 結果を使う
(1) 絶対値を含むので,このままでは差をとりにくい。|AP=A° を利用すると,
絶対値の処理が容易になる。 よって, 平方の差を作ればよい。
(2) 不等式を変形すると
そこで,(1)の不等式を利用することを考える。
2 方法をまねる
la|<la-b|+|b|↑ =と似た形
回の方針
三し。
解答)
の(1) (lal+|b)?-la+b?=(laP+2|a||6|+16円)-(a+b)°
=a°+2|ab|+ 6°ー(α°+2ab+6°)
=2(Iab|-ab)20
|inf.
A20 のとき
ー|A|SA=|A|
A<0 のとき く
の
la+bf<(lal+|b)
Ja+b20, Jal+1620 であるから
la+b|<la|+||
別解 -lalsaハlal, -|6|<b<6| であるから
ー|A|=A<|A|
であるから,一般に
-|A|SAS|A|
更に,これから
JA|-A20, |A|+A20
よって
-lal+|b)<a+bslal+\||
la+b|<la|+|b|
辺々を加えて
lal+|b|20 であるから
Tc20 のとき
-cSxSc=→ x|Sc
(2) (1)の不等式の文字aを a-6 におき換えて
xS-c, cSx
1ece lx2c
lalsla-b|+|b|
lal-|6|<la-b|
よって
ゆえに
2の方針。lal-b|が負
の場合も考えられるの
で、平方の差を作るには
別解 [1] |al-16|<0 すなわち lal<|b| のとき
(左辺)<0,(右辺)>0 であるから不等式は成り立つ。
[2] lal-|b|20 すなわち |al26| のとき
laーbP-(la|-|60=(a-b)° (α-2ab|+6)
=2(-ab+lab|)<0
場合分けが必要。
inf.」等号成立条件
(1)は0から,lab|=ab,
すなわち, ab20 のとき。
よって,(2) は(a-6)b20
ゆえに(a-b20 かつ 620)
または(a-b<0 かつ b<0)
すなわち a2b2)または
asbs0 のとき。
(lal-|b)?<la-bP
la-b20, la-b20 であるから
lal-16|<la-b|
よって
|等式·不等式の証明
