基本例題 9 等差数列と等比数列
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等差数列{an} と等比数列{bn} において,公差と公比が同じ値d (≠0) をとる。
初項に関しても同じ値α=b=a(>0) をとる。 α3=b3, a9=bs が成り立つとき
a, d の値を求めよ。
[類 京都学園大] 基本94 重要 100
指針条件から,初項αと公差(公比) d の方程式を作り,それを解く。
まず, a を消去することを考えるとよい。なお,計算の際α, dの符号の条件に注意する。
CAR
解答
数列{an}は等差数列であるから
数列{bn}は等比数列であるから bn=adn-1
I a3=63 から
a+2d=ad2
2d=a(d²-1)
a+8d=ad4
8d=a(d¹-1)
1α=b₁²5
と, S
比1万
② を変形すると 8d=a(d²-1)(d²+1)
①を代入して
ゆえに
d0であるから
和であ
8d=2d(d2+1)
d(d²-3)=0
d2=3
[1] d=√3のとき、①から
これは a>0 を満たし,適する。
2d=-√3のとき, ① から
an=a+(n-1)d
これはα> 0 を満たさず、不適。
したがって
a = √3, d=√3
だに
①
②
よって
a=
a=
2√3
3-1
利用に気づきにくい。
d=±√3-VE] = 解答で 「d=±1 のとき①
は成り立たないから
d≠±1」 と断れば, ②÷①
atad=ad²
at8d=ad4
= √3
-2√3
3-1
*********
-= -√√√3
8d a(d-1)
=
2d a(d²-1)
より 4 = d'+1 を導くこと
もできる。
である。
すなわち
例の数列{an},{bn} の項を書き出してみると
等差数列と等比数列の共通項-
(a):√3, 2√3, 3√3, 4√3, 5√3, 6√3, 7√3, 8/3, 9/3, 10/3,
(b): √3, 3,
つの数列の共通項は √33/39/3,273,
3√3, 9,
9√3, 27, 27√3,
これを「初項/3,公比3の等比数列」と考えると, 一般項は3.3"-1=3"se [v33 (数学ⅡI
参照)と考えられる (重要例題100 参照)
