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例題 44 係数に虚数を含む2次方程式の解
xの2次方程式 (1+i)x2+(a-i)x+2(1-αi) = 0 が実数解をもつとき,
実数の定数αの値を求めよ。 また, そのときの解をすべて求めよ.
( 慶應義塾大 )
考え方 係数に虚数を含むので, 判別式は使えない.
実数解をrとすると,もとの2次方程式は
(1+i)r²+(a-i)r+2(1-ai)=0
解答
この左辺を A+Bi=0 (A,Bは実数) の形に変形すれば
A=0, B=0 である. (p.81 「複素数の相等参照)
この2次方程式の実数解を x=y とする
(1+i)r²+(a-i)r+2(1-ai)=0
3 (r²+ar+2)+(r²-r-2a)i=0
r, a は実数だから,
J[r²+ar+2=0
Focus
[r²-r-2a=0
①② より,
(a+1)r+2(1+a)=0
1
1 (a+1)(r+2)=0
したがって,
(i)a+1=0 つまり, α = -1 のとき
① に代入すると, r2-r+2=0
ここで, 判別式 D=(-1)²-4・1・2=-7<0
rは実数であるから、不適
(ii) +2=0 つまり,r=-2のとき
40
α+1 = 0 または r+2=0
①に代入すると,
これは②も満たす
このとき, 与式は,
4-2a+2=0 より
b=(8+p) 1-
(1+i)x2+(3-i)x+2(1-3i) = 0
(x+2){(1+i)x+(1-3i)}=0
したがって,
x=-2, 1+2i
よって, (i), (i) より,
α= 3, そのときの解 x=-2, 1+2i
2 12
a=3
2?
***
<複素数の相等>
A,Bが実数のとき
A+ Bi=0
⇔A=0, B=0
実部と虚部に分ける.
r2+ar+2, r2-r-2a
は実数
α b が実数のとき,
a+bi=0
0⇒a=0, b=0
67ET
αとの連立方程式
r2 を消去して次数を下
げる。
G
それぞれの場合について,
もとに戻って調べる.
実際に解くと,
>_1± √7i
r=-
2
程式に
①,②ともに満たすこと
を確認する.
r=-2 つまり, 左辺は
x+2を因数にもつ.
(1+i)x+(1-3i)=0
(1+i)x=-1+3i
>
係数が虚数の2次方程式
判別式は使えない
実数解をもつときは, 解をとおき,
A+Bi=0 ⇔ A = 0, B=0 を利用
x==1+3=1+2i
1+i
