Question

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数Ⅱの微分の問題です。
(2)の赤線を引いた部分が何を表しているのかよく理解できていないので教えていただきたいです。
赤線の部分より2t^2−2t+5は実数解を持たないということが分かるので、tの解は−1のみである
と解釈したのですが合っていますか？

②141 (2) Pを放物線 y=-x2 上の点とし, Qを点 (-5, 1) とする。 2点P, Q を通る直線が,点P
EX (1) 放物線 y=x²-5x+4 の接線で傾きが-1であるものの方程式を求めよ。
における接線と直交しているときの点Pの座標を求めよ。
[(2) 崇城大〕
f'(x)=2x-5
(1) f(x)=x²-5x+4 とすると
f(x)=-1 とすると2x-5=-1
また
f(2)=22-5・2+4=-2
ゆえに, 求める接線の方程式は
y-(-2)=(-1)(x-2)
=
よってx=2
すなわち
y=-x
(2) P(0, 0) のときは条件を満たさないから,P(t, -t)
(t=0 ) とする。
y=-x2 より y=-2x であるから, 点Pにおける接線の傾
きは
-2t
よって, 点Pにおける接線に垂直な直線の方程式は
y=24(x−t)—1²
この直線がQ(-5, 1)を通るとき
1
-(−5—t)—t²
2t
整理すると
2t+3t+5=0
左辺を因数分解して (t+1)(2t²-2t+5)=0
9
21-21+5=2(t-1/12)
2+1/23 0 であるから
->0
したがって, 点Pの座標は
(-1,-1)
t=-1
に接線の傾きが-1であ
るから f'(x)=-1
KP (0, 0) のとき点Pに
おける接線はx軸。
すなわち, 点Pにおけ
る法線｡
両辺に 2t を掛けて
2t=(-5-t)-2t3
【f(t) = 263+3t+5
とするとf(-1)=0
または, 22-2t+5=0
の判別式をDとすると
D
4
=(-1)²-2･5< 0 から。

数学

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

かず

こんにちは！以下で解説します！

(t+1)(2t²-2t+5)=0となるためには、
t+1=0 または2t²-2t+5=0であればOKです。
t+1=0を満たすtの値は明らかです。(t=-1)
ではここで、2t²-2t+5=0となる実数tの値があるかを試します。
解の公式で虚数解になることを示してもよいが…計算がちょっと面倒。
そこで、平方完成をしてy=2t²-2t+5がx軸より上にある、つまり実数解を持たないことを示してあげます。
もちろん参考に記してあるように、判別式が負の値、すなわち実数解を持たない、と示してあげてもいいのです。

まとめると、赤線の操作は楽に解くためのものです。慣れないうちは解の公式で解いても構いません。ですが試験においては時間勝負になることも多々あるので、この際に覚えておきましょう！！