点P(a, b) から曲線 C:y=x-3x に接線が3本引けるとき,P(a, b) の
存在範囲を図示せよ。
点P (α, b) の存在範囲
思考プロセス
a
-α ともの関係式を導き、
b>g(a)
横軸を α,縦軸を6とする座標平面に領域を図示する。
既知の問題に帰着
αとの関係式を導く考え方は例題 230 と同様である。
b=g(a)
《ReAction 接線の本数は, 接点の個数を調べよ
例題 230)
解 C上の点をT (t, ピー 3t) とおく。
Jay' = 3x2-3 より, 点Tにおける接線の方程式は
209
y-(t-3t)=(3t-3)(x-t)
これが点P(a, b) を通るから
b-(3-3)=(3t² - 3)(a− t)
すなわち 2t3-3at2 +3a+b=0
…①
950 3次関数のグラフの接線は, 1本の接線に対して接点は必
230
ず1点に定まるから, 接線が3本となるための条件はもの
方程式 ①が異なる3つの実数解をもつことである。
f(t) = 2t3-3at°+3a + b とおくと
f'(t) = 6t-6at=6t(t-a)
f'(t) = 0 とおくと t = 0, a
x = 0, y = b を代入する。
よって, 求める条件は
a = 0 かつ f(0)f(a) <0
①
f3a+b>0
① より, (a+b) (-d+3a+b) <0
l-a°+3a+6 < 0
f(t) は極大値と極小値を
もつから、f'(t) = 0 は
異なる2つの実数解をも
つ。
J3a +6 < 0
よって α≠0
または
1-a+3a+b>0
すなわち
∫b>-3a
\b<a³-3a
fb <-3a
または
\b> a³-3a
このときαキリであるから,
64
b=a3-3a
曲線 b = 03-3αは
点P(a, b) の存在範囲は右の図の斜
2
線部分。 ただし、 境界線は含まない。
-2-
α = -1 で極大値 2
a=1で極小値 2
直線 63α は曲線
b = -3a に原点0で
接している。
b=-3a
