ūとあのなす角は 135° である。 このとき, m, nの値を求めよ。
(2) a=(1, -2), ō=(m, n) (mとnは正の数) について, \6|=\10 であり、
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OOO0
基本例題13 なす角からベクトルを求める
(0) 立教大。
いま,&とあのなす角が60° のとき, かの値を求めよ。
落
CHARTOSOLUTION
なす角からベクトルを求める α=(a, az), b=(bi, b:) とする。
内積をa-5=la6|cos0, a-b=a,b:+azb2 の2通りで表す
内積を2通りの方法で表し, これらを等しいとおいた方程式を解けばよい
(1)ではp,(2) では m, nが正の数であることに注意する。
解答)
(1) ふち=1×1+1×(-か)3D1-カ
al=/1+1°=/2, 6=/1+(-カ)ー/1+が
四 5=làl6lcos 60° から 1-カ=/2/1+がxー
や成分による表現。
BABCE
の
が-4p+1=0
*(1-D-+を
のの両辺を2乗して整理すると
p=2±/3
ここで, ①より,1-p>0 であるから
b=2-/3
整理する。
*1+が>0 であるから、
のの右辺は正。よって
よって
0<p<1
ゆえに
5P=10
のの左辺も正であり、
120
=/1°+(-2)-/5 であるから + 1
(2) =/10 から
1-p>0
よって
m+n°=10
a-5=la5lcos 135=15×、10×(- )=-5
定義による表現。
ーA
成分による表現。
また, a·6=1×m+(-2)×n=m-2n であるから
ACCA m-2n=-5
ゆえに
m=2n-5
の
15A
のをOに代入すると
整理すると
(2n-5)?+n°=10
5n?-20n+15=0
よって
n-4n+3=0
ゆえに
(n-1)(n-3)=0
よって
n=1, 3
2から n=1 のとき m=-3, n=3 のとき m=1
m=-3<0 から不適。
m, n は正の数であるから
m=1, n=3
