さ
基本例題 53 命題と反例
i
(1) 次の(1)~(土)が、命題「x<1=|x|<2] が偽であることを示すための反例
(エ) x=3
であるかどうか, それぞれ答えよ。 (2) 16:4
(ア) x=-3
(ウ) x=1
(イ) x=-1
ADALA
(2) αを整数とする。 命題 「a<x<a+4⇒ x≦5-2α」 が偽で, x=3がこの命
基本 52
お金を
題の反例であるとき, α の値を求めよ。
指針 ある x が条件を満たし,かつ条件g を満たさないとき,そのxは命題「bg」が
偽であることを示すための反例であるといえる。
(1)(ア)~(エ) のそれぞれの値が,x<1を満たし、かつ|x|<2を満たさないかどうかを
調べる。
(2) x=3が「a<x<a +4」 を満たし,かつ 「x≦5-2a」 を満たさないような整数aを
求める。
(1)(ア) x= -3 は x<1を満たすが, |-3|=3より
|x|<2
***<1
|x|<2を満たさないから,反例である。
(イ)x=-1 は x<1を満たすが, |-1|=1 より |x|<2
も満たすから、反例ではない。
(ウ) x=1は x<1 を満たさないから, 反例ではない。
(エ)x=3 は x<1を満たさないから,反例ではない。
(2) x=3が,命題 「a<x<a+4 ⇒ x≦5-2a」が偽であ
ることを示すための反例であるとき, 次の [1], [2] が成
り立つ。
[1] x=3はa < x <a +4 を満たす
[2]x=3x≦5-2a を満たさない
[1] から
a <3 <a+4
すなわち
-1<a<3
①
[2] から
3>5-2a
すなわち
a>1
① ② の共通範囲は
αは整数であるから
解答
1 <a <3
②
a=2
-3-1
反例となる範囲
x: (C)
7-2
きれい
baad
123X
108 751
<3 <a +4 から -1 <a
これと, a <3 より
- 1<a<3
また、[2]を言い換える
と, 「x=3は x>52a
を満たす」 となる。