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て, 1200円を支払う方法は何通りあるか。ただし,使わない硬貨があってもよい
指針>支払いに使う硬貨500円, 100円, 10円の枚数をそれぞれx, y, zとすると
500円0枚のとき, 100円, 10円の枚数をそれぞれa, bとすると
基本(例題10 支払いに関する場合の数
31
ものとする。
合である。
基本7
500x+100y+10z=1200 (x, y, zは0以上の整数)
この解(x, y, 2)の個数を求める。
金額が最も大きい 500円の枚数xで場合分けすると, 分け方が少なくてすむ。り
1
めで、他は
からxの値を絞り,場合分けをする。
場
解答
お払いに使う 500円, 100円, 10円硬貨の枚数をそれぞれx, y,
えとすると,x, y, zは0以上の整数で 自
500x+100y+10z=1200 すなわち 50x+10y+z=120
50x=120-(10y+z)<120
の
不定方程式(.515~)。
と書いても
イy20, z20 であるから
これを満た
ゆえに
よって
5x<12
『xは0以上の整数であるから
[] x=2 のとき
この等式を満たす0以上の整数y, 2の組は
(y, z)=(2, 0), (1, 10), (0, 20)の3通り。
[2] x=1のとき
この等式を満たす0以上の整数 y, 2の組は
(y, 2)=(7, 0), (6, 10),………, (0, 70) の8通り。
[3], x=0 のとき
x=0, 1, 2
50xS120
さ間
の積は奇議、
島数があれは味
こる。
す0以上の整数を求める。
10y+z=20
(10y=20-zハ20 から
に
10yS20 すなわち y<2
よってy=0, 1,2
ゴメ。
10y+z=70
中の 、
(10y=70-zハ70 から
10y<70 すなわち y<7
よって y=0,1,…, 7
10y+z=120
この等式を満たす0以上の整数 y, zの組は
(y, 2)=(12, 0), (11, 10),
, 12], [3] の場合は同時には起こらないから,求める場合の
(10y=120-2ハ120 から
10y<120 すなわち y<12
よって y=0, 1,…, 12
……, (0, 120)の13通り。
こなり
数は
和の法則
3+8+13=24 (通り)
のグ
使討すべての種類の硬貨を使う場合の考え方
もし,上の問題で「すべての種類の硬貨を使う」とあった場合は, 次のように処理できる条件を
先に片付けておくと,数値が簡単になって処理しやすくなる。
3種類の硬貨をすべて使う →1200円から, 500円1枚, 100円1枚, 10円1枚を除いた
1200-(500+100+10)=590 (円)について考える。
90円の90円は 10円硬貨で支払う →更に10円9枚を除くと 590-9×10=500(円)
は, 500円を支払う方法(使わない硬貨があってもよい)を考えると
2またなけ
(2, b)=(0, 50), (1, 40), (2, 30), (3, 20), (4, 10), (5, 0) の 6通り。
したがって、合計で7通りある。
