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[武庫川女子大]
重要 15 完全順列番目の数が
指 5人 1,2,3,4,5とし, それぞれの人のあて名を書いた封筒を ①, ②, ③, ④,⑤
封筒を作成した。 招待状を全部間違った封筒に入れる方法は何通りあるか
に招待状を送るため, あて名を書いた招待状と, それを入れるあて名を書い
よって, 1,2,3,4,5の5人を1列に並べたとき, k番目がんでない順列の数を求め
招待状を [2], 33, 4, 55 とすると, 問題の条件は≠(k=1, 2,3,45)
ればよい｡
1番目は1でない。
5人を1,2,3,4,5とすると,求める場合の数は、5人を
解答1列に並べた順列のうち、k番目がk(k=1,2,3,4,5)
でないものの個数に等しい。
1-5-4
1番目が2のとき、条件を満たす順列は,次の11 通り。
参考樹形図を作る際は、
2-3
4-5-1
-4-5-3
例えば
1-4
2-14
5-3-4
1-3-4
2-1<
- 5-3
-3
25
-5-3-4
4<
・3- 1
のように書き, ○内の数字
3-1
1番目が3, 4,5のときも条件を満たす順列は,同様に 11 の下にその数字を並べない
ようにするとよい。
通りずつある。
11×4=44 (通り)
よって 求める方法の数は
完全順列(次ページの参考事項も参照)
検討
1~nのn個の数字を1列に並べた順列のうち、どのk番目の数字もんでないものを急
全順列」という。完全順列の総数を調べるには,上の解答のように樹形図をかいてもよい。
しかし,nの値が大きくなると,樹形図をかくのは大変。 そこで, n≧4のときの完全順列
については,1つ前や2つ前の結果を利用して調べてみよう。
In個の数字の順列①, 2,
の完全順列の総数を W (n) で表す。
2
n=1のとき W(1)=0
n=2のとき, ②1の1通りしかないから W (2)=1
n=3のとき, ②③1, ③1 2 の2通りあるから
n=4のとき,まず,1, 2 ③の3個の数字の順列の最後に 4 を並べる。
W(3)=2
[1]
3個の数字の順列が 完全順列であるときと1~3番目の数字を入れ替える。
例えば,②③①④ において、④と①を入れ替える
[2] k=1,2,3 とする。 3個の数字の順列で1つだけ番目のものがEであるとき
②③4①
(残る2個の数字は完全順列になっている)
完全順列
例えば,②①③④ において、④と③を入れ替えると
[1] の場合は3通りの入れ替え方があり, [2] の場合も3通りの入れ替え方がある。
と④を入れ替える。
よって
W (4)=3×W(3) +3×W(2) = 3×2+3×1=9
2② 14④③3 完全順列
練習 右の図のよう
(以後次ページに続く)
354
冒
1-5-3
1-3
※以下
n 12
n=
[
