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基本例題 30 線分のなす角、平行・垂直条件
複素数平面上の3点A(α), B(B), C(y) について
(1) α=1+2i,β=-2+4i, y=2-ai とする。 このとき, 次のものを
(ア) a=3のとき, ∠BAC の大きさと △ABCの面積
(イ) α=16のとき, CBA の大きさ
(2) α=-1-i, β=i, y=b-2i (b は実数の定数) とする。
(ア) 3 点A,B,Cが一直線上にあるように, bの値を定めよ。
(イ)2 直線 AB, AC が垂直であるように, 6の値を定めよ。
指針 ∠BACの偏角 Bay = arg B-α
Y-α
(1)(ア)
(1)
B-a
(ア) △ABCの面積は 1/12AB・ACsin <BAC
また
であるから,
a-B
Y-B
=
r-a
β-a
r-a に注目する｡
=
を計算し、 極形式で表す。
(2) pp.41 の基本事項 ③ ② ③ が適用できるように,まずy-a
B-a
r-a が実数 (∠BAC = 0 または ² )
B-α
解答
(1) (ア) α=3のとき, y=2-3i であるから
Y-α
2-3i-(1+2i)
B-a -2+4i-(1+2i)
よって, ∠BACの大きさは
r-a が純虚数 ∠BAC=
B-a
BAC=4)
の計算で出てくる B-α, r-αの値を使うとよい。
(1-5i)(-3-2i)
(-3+2i)(-3-2i)
= √2 (cos+isin)
CHART 線分のなす角、直線の平行・垂直偏角 ∠Bay=arg-
1-5i
-3+2i
=-1+i
3
△ABC=12AB・ACsin <BAC
-—-—- √ √(-3)² + 2² ₁/18 11
12
B(B)
p.41 3
0
A(a)
ここで, AB=B-al, AC
∠Bay
A(a)
C(y)
を計算し
Big
r-a
B-a
a-B
r-B
a=16 のとき,
-ba
分母の実数化。
偏角を調べる。
=
よって, ∠CBA
y-a (b-2i)-
B-a
as litte
i-(-
(b+1-i
(1+2i)
3点A, B, C
となることであ
よって
イ) 2直線AB,
検討 ベクトルの
となるように,bの値を定復素数平面上の点
いて解くこともで
1) (1) A(1, 2),
B.
1+2i-(
2-16i-C
=
ここでは,偏角
(3-2i)(-
4(1-5i)0
習
00
√
8
COS-
数となることで
b=
よって
b=-
CO
(ア)についても
2) A(-1, -1)
(ア)kを実数
よって
(イ) AB･AC=
0≤ZCBAS
複素数平
(1)a=
(2) α=
求め
