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数と一致するための条件を求めよ。
a,bは定数で, ab≠1とする。関数 y= bx+1
基本 例題 11 逆関数がもとの関数と一致する条件
00000
x+a
①の逆関数が,もとの関
(0) S+
[奈良]
基本10
討
指針 2つのxの関数 f(x), g(x)が一致する (等しい)とは
[1] 定義域が一致する
[2] 定義域のすべてのxの値に対して
f(x)=g(x)
が成り立つことである。この問題では,f-'(x)=f(x) が定義域で恒等式となるため
とに着目した解法。
bx+1
x+a
の必要十分条件を求める。
bx+1_b(x+a)+1-ab_1-ab
+6
x+a
x+a
x+a
解答
したがって、 ① の値域は
①からy(x+α)=bx+1
y+b
(大))
f(x)=
別解定義域が一致するこ
とする。
ゆえにx(y-b)=-ay+1
y=6であるから x=
-ay+1
y-b
-ax+1
y=-x-b
(x=6)
②
よって、①の逆関数は
①と②が一致するための条件は,
bx+1 -ax+1
x+α
...
x-b
③の分母を払って
xについて整理すると
=
③がxの恒等式となることである。
(bx+1)(x-b)=(-ax+1)(x+a)
(a+b){x2+(a-b)x-1}=0
これがxの恒等式であるから
f(x) の値は y=6である
から逆関数f(x)の定
義域は
x=6
(s)
f(x)=f(x) であるとき
f(x)の定義域 xキーαが
x=bに一致するから
-a=b (必要条件)
このとき
-ax+1
x+a
f(x)=
の逆関数
ROS
は f(x) に一致する (+
条件)。
a+b=0 (すなわちb=-α)
このとき,①と②の定義域はともに xキーαとなり一致この確認を忘れずに
する。
(2)gol
「1対1の関数」という表現について
関数 y=f(x) において,異なるxの値に対し、異なるyの値が対応しているとき
[すなわち xキx2 ならば f(x)=f(x2)のとき],関数f()は1対1
f(x) が1対1の関数であるとき
なお
